Operación
de producto de un escalar por una matriz.
Producto de un
escalar por una matriz
Dada una matriz
A=(aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz:
a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado
por k.
kA=(k aij)
Propiedades
a • (b • A) = (a • b) • A A Mmxn, a, b
a • (A +
B) = a • A + a • BA,B Mmxn , a
(a + b) • A = a
• A + b • A A Mmxn , a, b
1 • A = A A Mmxn
4.2.2.
Demostración de producto de matrices conformables.
Producto de
matrices
Dos matrices A y
B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de
filas de B.
Mm
x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij
de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la
matriz A por cada elemento de lacolumna j de la matriz B y sumándolos.
Propiedades del
producto de matrices
Asociativa:
A
• (B • C) = (A • B) • C
Elemento
neutro:
A
• I = A
Donde I es la
matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
No es
Conmutativa:
A • B ≠ B • A
Distributiva del
producto respecto de la suma:
A • (B + C) = A
• B + A • C
4.2.3. Operación
de sistemas de “m” ecuaciones con “n” incógnitas
SISTEMAS DE ECUACIONES CON n INCOGNITAS.
Uno de los
métodos que más se usan para resolver este tipo de sistemas es el llamado
método de reducción por renglones o método de Gauss-Jordán. Consiste en la
eliminación sucesiva de incógnitas de acuerdo con el esquema siguiente:
Para resolver el
sistema
se escribe la
matriz ampliada del sistema:
La raya vertical
separa los coeficientes del sistema, a la izquierda, y los términos
independientes a la derecha.
Sobre esta
matriz se realizan las operaciones elementales por renglones con el objetivo de
llegar a una matriz en la forma escalonada reducida por renglones (ferr).
En resumen, se
permite:
Intercambiar
renglones. Que equivale a intercambiar ecuaciones.
Multiplicar un
renglón por una constante. Equivalente a multiplicar una ecuación por una
constante.
Agregar a un
renglón otro renglón multiplicado por una constante. Equivalente a sumar a una
ecuación un múltiplo de otra.
Cada vez que se
aplica a la matriz aumentada una operación elemental sobre renglones, se
obtiene una matriz ampliada de un sistema equivalente al inicial.
Operaciones con límites de sucesiones y límites de funciones
OPERACIONES CON
L´IMITES DE SUCESIONES
1. L´ımite de
una suma: (an)∞
n=1
,(bn)∞
n=1
⊆ R, an → a, bn → b.
a
HH
H
b −∞ R +∞
−∞
−∞ −∞ ?
R
−∞ a + b +∞
+∞
? +∞ +∞
l´ım
n
(an + bn)
2. L´ımite de un
producto: (an)∞
n=1
,(bn)∞
n=1
⊆ R, an → a, bn → b.
a
PP
P
b −∞ (−∞, 0) 0 (0, +∞) +∞
−∞
+∞ +∞ ? −∞ −∞
(−∞,
0) +∞ −∞
0
? ab ?
(0,
+∞) −∞ +∞
+∞
−∞ −∞ ? +∞ +∞
l´ım
n
anbn
3. L´ımite de un
cociente: (an)∞
n=1 ⊆ R, (bn)∞
n=1 ⊆ R \ {0}, an → a, bn → b.
a PP
P b −∞ (−∞, 0) 0
(0, +∞) +∞ 0
+
−∞ ? +∞ ? −∞ ?
−∞
(−∞, 0) 0 ? 0 −∞
0 0 a/b ? a/b 0
?
(0, +∞) 0 ? 0 +∞
+∞ ? −∞ ? +∞ ?
+∞
l´ım
n
an/bn
4. L´ımite de
una potencia: (an)∞
n=1
⊆ (0, +∞), (bn)∞
n=1
⊆ R, an → a, bn → b.
a
PP
P
b −∞ (−∞, 0) 0 (0, +∞) +∞
0
+∞ +∞ ? 0 0
(0,
1) +∞ 0
1
? a
b
?
(1,
+∞) 0 +∞
+∞
0 0 ? +∞ +∞
l´ım
n
a
bn
nOTRAS REGLAS
PARA EL CALCULO DE L ´ ´IMITES DE SUCESIONES
Si f(x)
representa una cualquiera de las funciones elementales (x
r
, |x|, e
x
, log x, sen x,
cos x,
tg x, arc sen x,
arc cos x, arc tg x), entonces en general
l´ım
n
an = a =⇒ l´ım
n
f(an) = f(a)
cuando esto
tenga sentido, es decir, cuando la sucesi´on est´e contenida en el dominio de
la funci´on
f y tambi´en el
l´ımite a pertenezca al dominio.
Otras reglas son
las siguientes:
a) Potencias de
exponente positivo: sea r > 0;
l´ım
n
an
= +∞ =⇒ l´ım
n
a
r
n
= +∞
l´ım
n
an
= 0
+
=⇒ l´ım
n
a
r
n = 0
b) Potencias de
exponente negativo: sea r < 0;
l´ım
n
an
= +∞ =⇒ l´ım
n
a
r
n
= 0
l´ım
n
an
= 0
+
=⇒ l´ım
n
a
r
n = +∞
c) Valor
absoluto:
l´ım
n
an = +∞ =⇒ l´ım
n
|an| = +∞
l´ım
n
an = −∞ =⇒ l´ım
n
|an| = +∞
d)
Exponencial:
l´ım
n
an
= +∞ =⇒ l´ım
n
e
an
= +∞
l´ım
n
an
= −∞ =⇒ l´ım
n
e
an = 0
e) Logaritmo:
l´ım
n
an
= +∞ =⇒ l´ım
n
log
an = +∞
l´ım
n
an
= 0
+
=⇒ l´ım
n
log
an = −∞
f) Tangente: sea
k un n´umero entero;
l´ım
n
an
=
π
2
+
kπ
+
=⇒ l´ım
n
tg
an = −∞
l´ım
n
an
=
π
2
+
kπ
−
=⇒ l´ım
n
tg
an = +∞
g) Arco
tangente:
l´ım
n
an
= +∞ =⇒ l´ım
n
arc
tg an =
π
2
l´ım
n
an
= −∞ =⇒ l´ım
n
arc tg an = −
π
2OPERACIONES CON
L´IMITES DE FUNCIONES
1. L´ımite de
una suma: f, g : D −→ R, l´ım
x→r
f(x)
= a, l´ım
x→r
g(x)
= b.
a
HH
H
b −∞ R +∞
−∞
−∞ −∞ ?
R
−∞ a + b +∞
+∞
? +∞ +∞
l´ım
x→r
[f(x) + g(x)]
2. L´ımite de un
producto: f, g : D −→ R, l´ım
x→r
f(x)
= a, l´ım
x→r
g(x)
= b.
a
PP
P
b −∞ (−∞, 0) 0 (0, +∞) +∞
−∞
+∞ +∞ ? −∞ −∞
(−∞,
0) +∞ −∞
0
? ab ?
(0,
+∞) −∞ +∞
+∞
−∞ −∞ ? +∞ +∞
l´ım
x→r
f(x)g(x)
3. L´ımite de un
cociente: f : D −→ R, g : D −→ R \ {0}, l´ım
x→r
f(x)
= a, l´ım
x→r
g(x)
= b.
a
PP
P
b −∞ (−∞, 0) 0 (0, +∞) +∞ 0
+
−∞
? +∞ ? −∞ ? −∞
(−∞,
0) 0 ? 0 −∞
0
0 a/b ? a/b 0 ?
(0,
+∞) 0 ? 0 +∞
+∞
? −∞ ? +∞ ? +∞
l´ım
x→r
f(x)/g(x)
4. L´ımite de
una potencia: f : D −→ (0, +∞), g : D −→ R, l´ım
x→r
f(x)
= a, l´ım
x→r
g(x)
= b.
a
PP
P
b −∞ (−∞, 0) 0 (0, +∞) +∞
0
+∞ +∞ ? 0 0
(0,
1) +∞ 0
1
? a
b
?
(1,
+∞) 0 +∞
+∞
0 0 ? +∞ +∞
l´ım
x→r
f(x)
g(x)
5.1.2. Cálculo
de incrementos, pendiente de una curva.
Pendiente de una
línea recta
La pendiente de
una recta proporciona una medida numérica exacta de la variación que
experimenta la variable Y del eje de ordenadas por cada variación unitaria de
la variable X del eje de abscisas.
En el gráfico
siguiente podemos ver como se calcula la pendiente de una recta . Imaginemos
que el paso del punto B al punto D en el gráfico (a) se hace en dos partes;
primero a través de un movimiento horizontal de B a C, que indica un aumento de
una unidad en el valor de X (sin que varíe Y) y luego a través de un movimiento
vertical de C a D que indica una disminución en el valor de Y por una cantidad
igual a s (sin que varíe el valor de X). Dado que la pendiente se define como el
valor de la altura entre la base, en el ejemplo el valor de la pendiente de la
recta ABDE es -s, que es la división de s la longitud del segmento CD (la
altura) entre 1 que es el valor de longitud del segmento BC (la base). El signo
negativo indica que un aumento en el valor de X lleva a una disminución en el
valor de Y, y viceversa (una disminución en X lleva a un aumento en Y) por lo
que en este caso decimos que existe una relación inversa entre la variable X y
la variable Y, es decir las variables se
mueven en sentido opuesto.
(a) Relación
Inversa
En el caso del
gráfico (b) el valor de la pendiente sería s pues un aumento en el valor de X
lleva a un aumento en el valor de Y y viceversa (una disminución de X lleva a
una disminución de Y) por lo que decimos que en este caso existe una relación
directa entre la variable X y la variable Y, las variables se mueven en el
mismo sentido.
(b) Relación
Directa
Es importante
señalar que la variación en el valor de X en una unidad en el ejemplo
presentado se ha hecho por razones metodológicas. La definición de la
pendiente, longitud de la altura entre la longitud de la base, es valida para
todos los movimientos a través de la recta, es decir para dos puntos cualquiera
de la recta, sin importar cual es su magnitud.
A manera de
resumen es importante recordar lo siguiente con relación al cálculo de la
pendiente en el caso de una línea:
i) La pendiente
de una recta proporciona una medida numérica exacta de la variación que
experimenta la variable Y por cada variación unitaria de la variable X del eje
de abscisas y se calcula como la
longitud de la altura dividida entre la longitud de la base.
ii) En el caso
de una línea recta la pendiente es constante en todos sus puntos.
iii) La
pendiente de una línea indica si la relación entre las variables X e Y es
directa o inversa. El valor positivo de una pendiente indica que una relación
directa entre las variables, es decir se mueven en el mismo sentido, el
incremento (disminución) en una de ellas lleva a un incremento (disminución) de
la otra. Un valor negativo de la pendiente indica que la relación es inversa,
es decir se mueven en sentido opuesto, el incremento (disminución) en una de
ellos lleva a una disminución (incremento) de la otra.
Pendientes de
una curva
La pendiente de
una curva varía a lo largo de ella. Por ello no podemos hablar de manera
general de la pendiente de una curva (como si podemos hacerlo en el caso de una
recta, pues su pendiente es constante) sino nos referimos a la pendiente de una
curva en un determinado punto. Para calcular la pendiente de una curva en un
determinado punto calculamos la pendiente de la recta tangente a la curva en
ese punto, es decir aquella recta que toca pero no corta a la curvo en dicho
punto. Por lo tanto, la pendiente de una curva
en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho
punto.
El gráfico
siguiente nos ayuda a explicar el procedimiento para el cálculo de la pendiente
de una curva en un determinado punto. Para hallar la pendiente de la curva ABDE
en el punto B primero trazamos la línea tangente a la curva en dicho punto, en
este caso la recta FBJ. Una vez trazada la recta tangente a la curva en este
punto procedemos a calcular su pendiente de manera habitual. De manera análoga,
para hallar la pendiente de la curva en el punto D, tenemos que hallar la
pendiente de la recta tangente en ese punto, es decir tenemos que hallar la
pendiente de la recta GDH.
Una forma de
curva muy importante en economía son las curvas en forma de U y U invertida. En
el caso de una curva en forma de U invertida, como la presentada en el gráfico
(a), se observa que la pendiente de la curva es positiva en el tramo ascendente
de la curva es ascendente, que va del punto A al punto C y la pendiente es
negativa en el tramo descendente de la currva, que va del punto C al punto E.
El valor máximo para la variable Y se alcanza en la cima de la curva en donde
la pendiente tiene un valor de cero, lo que implica que una pequeña variación
de X alrededor de ese punto no tendría un efecto sobre la variable Y.
(a) Curva en
forma de U invertida.
El hecho que la
curva tenga su valor máximo en el punto en donde la pendiente tiene el valor de
cero intuitivamente puede ser entendido de la siguiente manera: si el valor de
X fuera menor a aquel que hace que el valor de Y sea máximo estaríamos en el
tramo en donde la pendiente es positiva por lo que un incremento en el valor de
X llevaría a un incremento en el valor de Y; de manera análoga si el valor de X
fuera mayor a aquel que hace que el valor de Y sea máximo estaríamos en el
tramo en donde la pendiente es negativa por lo que una disminución en el valor
de X llevaría a un incremento en el valor de Y. Por lo tanto si nos ubicamos en
cualquier punto fuera de aquel en que el valor de la pendiente es cero siempre
sería posible aumentar el valor de Y con variaciones adecuadas en el valor de
X, aumentando su valor en el caso en que nos encontramos en el tramo ascendente
de la curva y disminuyendo su valor cuando nos encontramos en el tramo descendente
de la curva.
(b) Curva en
forma de U
5.1.3.
Utilización de las derivadas de las funciones elementales a problemas sencillos
de física, biología, ciencias sociales, etc.
la derivada de una función es una medida de la
rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de
suvariable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es
decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en
un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable
independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la
derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo
habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la
posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es lavelocidad de
dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre
las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo,
puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la
ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su
velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad
instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en
intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y
las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la
derivada de una función en un punto puede interpretase geométricamente, ya que
se corresponde con pendiente de la recta tangente a lagráfica de la función en
dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación
lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede
generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada
parcial y el diferencial.
La derivada de
una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada
punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′.
El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación,
y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida
como cálculo.
Contenido
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1 Historia de la
derivada
1.1 Siglo XVII
1.2 Newton y
Leibniz
2 Conceptos y
aplicaciones
3 Condiciones de
continuidad de una función
3.1 Condición no
recíproca
4 Definición
analítica de derivada como un límite
5 Notación
6
Diferenciabilidad
7 Cociente de
diferencias de Newton
8 Lista de
derivadas de funciones elementales
9 Ejemplos
9.1 Ejemplo #1
9.2 Ejemplo #2
9.3 Ejemplo #3
10
Generalizaciones
11 Véase también
12 Referencias
13 Enlaces
externos
[editar]Historia
de la derivada
Los problemas
típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en
la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron
métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo
XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe
a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
El problema de
la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
El Teorema de
los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto
dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.
[editar]Siglo
XVII
Los matemáticos
perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes
Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a
andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo
infinitesimal.
A mediados del
siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para
resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros
darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
[editar]Newton y
Leibniz
Artículos principales:
Newton y Leibniz.
A finales del
siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores
los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para
manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos
eran inversos (teorema fundamental del cálculo).
Newton
desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665
encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el
descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases
de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el
concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable
«fluye» (varía) con el tiempo.
Leibniz, por su
parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el
primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes.
En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como
un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor
de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y
cálculo integral, así como los símbolos
y el símbolo de la integral .
[editar]Conceptos
y aplicaciones
El concepto de derivada
es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro
concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el
teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del
cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas
previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del
Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo
Infinitesimal.
La derivada es
un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde
es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o
situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física,
Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología.
Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente
de la recta tangente del gráfico en el punto
. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando
la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a
cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta
interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los
gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.
Algunas
funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo,
una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente
vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran
cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y
su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.
Las funciones
que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son
aproximables linealmente.
[editar]Condiciones
de continuidad de una función
Una función
continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños
en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio
de dicha función, es decir, , y usando
la expresión , queda donde en este caso, . Ello quiere decir que , y si este último límite existe significa en
consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos
límites laterales existen y son iguales) que toda función que cumpla con
es continua en el punto .
[editar]Condición
no recíproca
La relación no
funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su
derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las
derivadas laterales no; en este caso la función presenta un punto anguloso en
dicho punto.
Un ejemplo puede
ser la función valor absoluto (también llamada módulo) en el punto . Dicha función se expresa:
Para valores
infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el
resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo,
las derivadas resultan:
Cuando vale 0, las derivadas laterales dan
resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de
que sea continuo.
De manera
informal, si el gráfico de la función tiene puntas agudas, se interrumpe o
tiene saltos, no es derivable.
[editar]Definición
analítica de derivada como un límite
Esquema que
muestra los incrementos de la función en x y en y.
En terminología
clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra
cantidad .
En matemáticas,
coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una
variable, un vector unitario, una función base, etc.
En física, coeficiente
es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las
características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso,
observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría
representado en el punto de la función
por el resultado de la división representada por la relación , que como puede comprobarse en la gráfica,
es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que
representa la tangente en el punto de
la función. Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectángulo
formado en la gráfica con vértice en el punto
, por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional
el resultado de es siempre el mismo.
Esta noción
constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el acercamiento
a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la
izquierda de manera simultánea.
Considerando la
función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene
que la derivada de la función f en el punto
se define como sigue:
,
si este límite
existe, de lo contrario, , la derivada,
no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea
del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.
Aunque podrían
calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un
límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el
cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas
funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcular forzosamente el límite.
Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas
previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.
También puede
definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su
dominio de la siguiente manera:
,
La cual
representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de la
tangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado
más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con
la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su
aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de
los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismo resultado.
[editar]Notación
Existen diversas
formas para nombrar a la derivada. Si f es una función, se escribe la derivada
de la función respecto al valor en varios modos:
{Notación de Lagrange}
se lee «efe
prima de equis»
o
{Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}
se lee « sub
de », y los símbolos D y d deben
entenderse como operadores.
{ Notación de Newton}
se lee
«punto » o « punto». Actualmente está en desuso en
Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la
mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la
notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una
variable.
,
ó {Notación de Leibniz}
se lee «derivada
de (
ó de ) con respecto a ». Esta notación tiene la ventaja de sugerir
a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de
diferenciales.
La notación más
simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para
identificar las derivadas de en el
punto , se escribe:
para la primera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada ( ). (También se
pueden usar números romanos).
Para la función
derivada de en , se escribe
. De modo parecido, para la segunda derivada de en ,
se escribe , y así sucesivamente.
La otra notación
común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada
de , se escribe:
Con esta
notación, se puede escribir la derivada de
en el punto de dos modos
diferentes:
Si , se puede escribir la derivada como
Las derivadas
sucesivas se expresan como
o
para la enésima
derivada de o de respectivamente. Históricamente, esto viene
del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es
la cual se puede
escribir como
La notación de
Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de
diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de
diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque
los términos «d» parecen cancelarse simbólicamente:
En la
formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden
cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos
solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis
no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se
cancelan.
La notación de
Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del
nombre de la función:
y así
sucesivamente.
Esta notación de
Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo
tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.
[editar]Diferenciabilidad
Una función con
dominio en un subconjunto de los reales es diferenciable en un punto si su derivada existe en ese punto; una
función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los
puntos del intervalo.
Si una función
es diferenciable en un punto , la
función es continua en ese punto. Sin embargo, una función continua en , puede no ser diferenciable en dicho punto.
En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco.
La derivada de
una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de
una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido, la
derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente.
Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden
superior.
[editar]Cociente
de diferencias de Newton
La derivada de
una función es la pendiente geométrica
de la recta tangente del gráfico de
en . Sin el concepto que se va a
definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente
a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea
tangente: . La idea es aproximar la
línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias
progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el
límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue
la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el
límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea
tangente.
Para encontrar
las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño. representa un cambio relativamente pequeño
en , el cual puede ser positivo o
negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos y es
.
Inclinación de
la secante de la curva y=f(x).
Esta expresión
es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de en
es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas
secantes se aproximan a la línea tangente:
.
Si la derivada
de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de como la función cuyo valor en cada punto es la derivada de en .
Puesto que
sustituir por 0 produce una división
por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica
posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar
la del denominador. Y eso es posible
fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es
incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la
mayoría de las funciones simples.
Sea una función continua, y su curva. Sea la abscisa de un punto regular, es decir
donde no hace un ángulo. En el
punto de se puede trazar la tangente a la curva. Su
coeficiente director, o sea su pendiente, es
, el número derivado de en .
La función es la derivada de .
En el punto de
contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir , se puede saber a qué ritmo crece o decrece
la función. El signo de determina si la
función crece o decrece.
En este gráfico
se ve que donde es creciente, las
tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo
tanto es positiva, como en el punto ( ), mientras que donde es decreciente, las tangentes apuntan hacia
abajo y es negativa, como en el
punto ( ). En los puntos y ,
que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego .
La función
derivada se puede calcular sin dibujar la curva de . En efecto, gracias a una propiedad
geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:
Por ejemplo, sea
entonces:
[editar]Lista de
derivadas de funciones elementales
Artículo
principal: Anexo:Derivadas.
En las fórmulas
siguientes se considera que :
(regla de la cadena)
[editar]Ejemplos
[editar]Ejemplo
#1
Sea la función
, definida sobre el conjunto de los números reales (denotado por ). Para conocer sus variaciones se observa su
derivada:
Para encontrar
el signo de , se tiene que factorizar:
lo anterior que
se hace resolviendo una ecuación de segundo grado.
También se
observa su segunda derivada:
Dado que y
entonces tiene un máximo local
en -1 y su valor es .
Dado que y
entonces tiene un mínimo local
en 4 y su valor es .
Nótese que la
derivada es diferenciable en todo su dominio y hay exactamente 2 valores
de tales que , los cuales son y ,
tomando en cuenta el teorema del valor medio y que entonces la derivada es negativa en el
intervalo por lo tanto la función es
decreciente en el intervalo .
Al ser una
función basada en un polinomio cúbico no está acotada ni por arriba ni por
abajo y como su derivada es una función cuadrática entonces no tiene más de 2
puntos con derivada igual a cero, por tanto la función es creciente en el
intervalo y en el intervalo .
[editar]Ejemplo
#2
Utilizando la
definición de derivada de una función, determinar la derivada de la función.
uir datos:
Dar:
Entonces
Racionalizando:
Calculamos el
límite:
5.1.4.
Aplicaciones de teoremas del cálculo
Teorema
fundamental del cálculo
El teorema
fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la
derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto
significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su
integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las
matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es
fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales-
en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas
que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando
por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio
lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas
como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la
historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área
bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial,
resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia
directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo
teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una
función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Contenido
[ocultar]
1 Intuición
geométrica
2 Primer teorema
fundamental del cálculo
2.1 Demostración
2.1.1 Lema
2.1.2
Demostración
2.2 Ejemplos
3 Segundo
teorema fundamental del cálculo
3.1 Enunciado
3.2 Demostración
3.3 Ejemplos
4 Véase también
5 Referencias
6 Enlaces
externos
[editar]Intuición
geométrica
El área rayada
en rojo puede ser calculada como h × f(x), o si se conociera la función A(X),
comoA(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente iguales para valores
pequeños de h.
Supóngase que se
tiene una función continua y = f(x) y que su representación gráfica es una
curva. Entonces, para cada valor de x tiene sentido de manera intuitiva pensar
que existe una función A(x) que representa el área bajo la curva entre 0 y x
aún sin conocer su expresión.
Supóngase ahora
que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer
hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En
resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A(x+h) − A(x).
Otra manera de
estimar esta misma área es multiplicar h por f(x) para hallar el área de un
rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que
la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor
de h.
Por lo tanto, se
puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) • h, y que la
precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras
palabras, ƒ(x)•h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad
cuando h tiende a 0 como límite.
Dividiendo los
dos lados de la ecuación por h se obtiene
Cuando h tiende
a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la
derivadaA’(x) de la función A(x) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ(x) al
ya no estar h presente.
Se muestra
entonces de manera informal que ƒ(x) = A’(x), es decir, que la derivada de la
función de área A(x) es en realidad la función ƒ(x). Dicho de otra forma, la
función de área A(x) es la antiderivada de la función original.
Lo que se ha
mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una función y
"hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas",
es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral.
[editar]Primer
teorema fundamental del cálculo
Dada una función
f integrable sobre el intervalo ,
definimos F sobre por . Si f es continua en , entonces Fes derivable en y F'(c) = f(c).
Consecuencia
directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
Siendo f(t) una
función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.
[editar]Demostración
[editar]Lema
Sea [[ ]]
integrable sobre y
Entonces
[editar]Demostración
Por definición
se tiene que .
Sea h>0.
Entonces .
Se define y
como:
,
Aplicando el
'lema' se observa que
.
Por lo tanto,
Sea . Sean
,
.
Aplicando el
'lema' se observa que
.
Como
,
entonces,
.
Puesto que , se tiene que
.
Y como es continua en c se tiene que
,
y esto lleva a
que
.
[editar]Ejemplos
[editar]Segundo
teorema fundamental del cálculo
El segundo
teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también
regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac
Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular
fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las
primitivas de la función.
[editar]Enunciado
Dada una función
f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de
f, es decir F '(x) = f(x). Entonces
[editar]Demostración
Sea
.
Tenemos por el
primer teorema fundamental del cálculo que:
.
Por lo tanto,
tal que
.
Observamos que
y de eso se
sigue que ; por lo tanto,
.
Y en particular
si tenemos que:
[editar]Ejemplos
Como se puede
integrar inmediatamente.
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