MATEMATICAS 88-89

ESTRUTURACION DE LAS PROPIEDADES DE LA DIVISION

División exacta

En una división exacta el dividendo es igual al divisor por el cociente.

D = d · c

División entera

En una división entera el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto.

D = d · c + r

            17 = 5 · 3 + 2

 No es una operación interna en los números naturales y enteros:

El resultado de dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o entero.

2 : 6 

No es Conmutativa:

a : b ≠ b : a

6 : 2 ≠ 2 : 6

Cero dividido entre cualquier número da cero.

0 : 5 = 0

No se puede dividir por 0.

 

APLICACIÓN DE TEOREMAS FUNDAMENTALES DE ALGEBRA

El Teorema Fundamental del Álgebra (TFA) dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene una raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a continuación uno de estos argumentos.

El Origen del Álgebra.

Los babilonios desarrollaron técnicas y métodos para medir y contar, impulsados en parte por la necesidad de resolver problemas prácticos de agrimensura, de intercambio comercial y del desarrollo de las técnicas cartográficas. Entre las tablillas babilónicas descubiertas se han encontrado ejemplos de tablas de raíces cuadradas y cúbicas, y el enunciado y solución de varios problemas puramente algebraicos, entres ellos algunos equivalentes a lo que hoy se conoce como una ecuación cuadrática. Un examen cuidadoso de las tablillas babilónicas muestra claramente que mediante esos cálculos sus autores no sólo intentaban resolver problemas del mundo real, sino otros más abstractos y artificiales, y que lo hacían para desarrollar técnicas de solución y ejercitarse en su aplicación.

Expresión algebraica:

Conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre si por los signos de las operaciones aritméticas.

2. Términos semejantes:

Son los que tienen el mismo factor literal

Una expresión es una colección significativa de números, variables y signos de operación.

Ejemplos de Expresiones 
    2p + 5 
    4a -  6 
    3x-9+2

No son expresiones:

   -4  -  · c        No tiene sentido la resta y multiplicación 
    3b + 4= 9     El signo de "=" hace que no sea expresión. Esto es una oración matemática. 

 El coeficiente es el número que está siempre localizado antes de la variable; significa que el número está multiplicado por la variable.

Por ejemplo: 
                      3a  ;   3 es la coeficiente 
                     -2c ;  -2 es la coeficiente 
                       x   ;   1 es la coeficiente

Un término es un grupo de variables y coeficientes dividido por signos de suma y resta.

Ej. 4x + 2y 
       4x es un termino 
       2y es un término

Término Semejante:

    Un término es  semejante a otro  término si tiene la misma variable o variables con el mismo exponente o exponentes.

Ej.  2a  + 3a     son términos semejantes 
      3b  + 4d     no son términos semejantes 
       3c + 3a      no son términos semejantes

Reagrupar términos semejantes: 
3x + 4x  + 2y  -  9 + 6 
7x  + 2y - 3

Ejemplo:

2xy + 4z -9 + 2y _ xy

2xy y 2y No son términos semejantes.  Para ser términos semejantes, deben tener exactamente las mismas variables con los mismos exponentes.

Ecuaciones

Una expresión algebraica es una combinación de números y símbolos (que representan números). Por ejemplo: 5x2 + 3x3y3z.

Un término es una combinación de números y símbolos (que representan números) unidos por operaciones de multiplicación o división. Por ejemplo: 5x2, 3x3y3z son los términos de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z.

Un factor es cada uno de los componentes de un término. Por ejemplo: 5 y x2, son los factores del término 5x2 de la expresión algebraica 5x2 + 3x3y3z .

Elegido un factor, un coeficiente, es lo queda del término. Por ejemplo: 3 es el coeficiente de x3y3z, x3 es el coeficiente de 3y3z, z es el coeficiente de 3x3y3 y así sucesivamente. Si el coeficiente es un número se le llama coeficiente numérico.

Dos términos se dice que son similares cuando sólo se diferencian en el coeficiente numérico.

El grado de un término es la suma de los exponentes de las variables. Por ejemplo: el grado del término 3x3y3z es 7. El grado de una constante es cero.

Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto.

Debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación.

Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación

ORGANIZACIÓN DE LAS ECUACIONES POLINOMIALES

EJEMPLIFICACION DE LAS FUNCIONES RACIONALES

Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:

  .

Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones   

APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE MATRIZ CUADRADA A MATRIZ (N X M)

Una matriz de n por m elementos, es una matriz cuadrada si el número de filas es igual al número columnas, es decir, n = m y se dice, entonces que la matriz es de orden n:

Las matrices cuadradas son las más utilizadas en álgebra.

Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica.

Si A y B son matrices del mismo orden, entonces se pueden sumar entre sí. Los productos de matrices son válidos en ambos sentidos, AB y BA. Además, surgen los conceptos de determinante y traza solo aplicables a matrices cuadradas.

Una matriz cuadrada A de orden n es singular si su determinante es nulo. En tal caso se dice que dicha matriz no tiene inversa.

CÁLCULO DE LA SUMA, COMO RESULTADO DE LA OPERACIÓN ADICION DE MATRICES

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.