EmpoC: Matemáticas Temas: 3.7.2 al 5.2.3

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Método de Gauss

Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminarel término en y.

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.

Resolución y representación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales

Resolvemos gráficamente el sistema x + y = 6; x - y = 2}

^o Despejamos y en las dos ecuaciones.

x + y = 6 → y = 6 - x

x - y = 2 → y = x - 2

^o Dando valores a x, formamos una tabla de valores para cada una de las dos ecuaciones.

y = 6 - x

x	0	1	2	3	4
y	6	5	4	3	2

y = x - 2

x	0	1	2	3	4
y	-2	-1	0	1	2

^o Puede ocurrir uno de los siguientes casos:

Si las rectas no se cortan, es decir, son paralelas, el sistema es incompatible, no tiene solución.
Si las rectas se cortan en un punto, el sistema tiene solución única. Decimos que es compatible determinado.
Si las dos rectas coinciden, esto es, son la misma, el sistema tiene infinitas soluciones. Es un sistema compatible indeterminado.

En nuestro caso, las rectas se cortan en el punto (4, 2). La solución del sistema es x = 4 e y = 2.

Clasificamos los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

a) 2 x + y = 6 2 x - y = 2 } b) x + y = 3 2 x + 2 y = 6 } c) x + y = 3 x + y = - 1 }

a) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 1, y = 4; x = 2, y = 2

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 1, y= 0; x = 2, y = 2

Las rectas se cortan en un punto que será la solución:x = 2, y = 2. Por tanto, el sistema será compatible determinado. Vemos la representación más abajo.

b) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 0, y = 3; x = 3, y = 0

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 1, y = 2; x = 2, y = 1

Las rectas coinciden, toda la recta es solución del sistema (infinitas soluciones). Por tanto, el sistema serácompatible indeterminado. Vemos la representación más abajo.

c) Dibujamos las rectas que representan las soluciones de cada ecuación: Dos soluciones de la primera ecuación son:

x = 0,y = 3; x = 3,y = 0

Dos soluciones de la segunda ecuación son:

x = 0, y =-1; x = -2, y = 1

Las rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, luego el sistema no tiene solución. Por tanto, el sistema será incompatible.

SISTEMAS DE ECUACIONES CONSISTENTES E INCONSISTENTES

Un sistema de ecuaciones lineales sin solución, se denomina sistema de ecuaciones inconsistente. Un sistema de ecuaciones lineales con única solución, se denomina sistema de ecuaciones consistente con única solución y un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones, se denomina sistema de ecuaciones consistente con infinitas soluciones.

Clases de sistemas

consistente	sistema que tiene una solución
inconsistente	sistema que no tienesolución
dependiente	sistema que tiene infinitas soluciones

Ejemplo: el sistema es un sistema consistente porque tiene una solución; el par ordenado ( 2, 1).

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS-JORDÁN

La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incognitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas.

En primer lugar, reducimos la incógnita $Descripción: x \,$ , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por $Descripción: \frac{3}{2}$ , y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita $Descripción: y \,$ en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por $Descripción: -2 \,$ y por $Descripción: -4 \,$ , respectivamente.

Por último, eliminamos la $Descripción: z \,$ , tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por $Descripción: -2 \,$ y por $Descripción: \frac{1}{2}$ , respectivamente:

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: $Descripción: \frac{1}{2}$ , $Descripción: 2 \,$ y $Descripción: -1 \,$ respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.

Pongamos un ejemplo del cálculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:

Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:

También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños:

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:

En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:

Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:

Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

Regla de Cramer

La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes y adjuntos dada por:

Donde A_j es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas:

La regla de Cramer da la siguiente solución:

Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica múltiples o sin coincidencia.

3.8.3

Construcción de un Sistema de ecuación con 2 incógnitas

1- Les damos valor a X Y.

X=4

Y=2

2- Construimos una ecuación de la igualad.

2x+6y =

6x-3y =

3- Ahora sustituimos las letras por los valores que le dimos a cada ecuación y multiplicamos y sumamos o restamos según los signos.

2x+6y =

2(4)+6(2) =

8+12 = 20

6x-3y =

6(4)-3(2) =

24-6 = 18

4- Ponemos el resultado de lo hecho anteriormente en el sistema de ecuación y ya tenemos nuestro sistema de ecuación.

2x+6y = 20

6x-3y = 18

Construcción de un Sistema de ecuación con 3 incógnitas

1- Darle valor a X Y Z.

X=2

Y=5

Z=9

2- Construir un sistema de ecuación sin la igualdad.

2x+6y-5z=

5x-8y+8z=

7x+6y+9z=

3- Ahora como tenemos nuestro sistema de ecuación hecho, sustituimos las letras por los valores asignados y multiplicamos y sumamos o restamos según los signos.

2x+6y-5z=

2(2)+6(5)-5(9)=

4+30-49= -14

5x-8y+8z=

5(2)-8(5)+8(9)=

10-40+432= 402

7x+6y+9z=

7(2)+6(5)+9(9)=

14+30+81= 125

4- Ahora ponemos el resultado de lo hecho anteriormente en el sistema de ecuación hecho. Ya tenemos nuestro sistema hecho.

2x+6y-5z= -14

5x-8y+8z= 402

7x+6y+9z= 125

4.1.1

Definición de sucesión aritmética

Una sucesión es una sucesión aritmética si hay un número real

tal que para todo entero positivo

El número se le llama diferencial común de la sucesión.

Dada una sucesion aritmetica:

k+1 = a

+ d

para todo entero positivo K. Esto nos da una formula recursiva para encontrar terminos sucesivos .A partir de cualquier numero real a1. obtendremos una sucesion aritmetica con diferencia comun d con solo agregar d a a1, luego a a1+d y asi sucesivamente, con lo que resulta

Observa que la diferencia común

es la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión aritmética.

El n-ésimo término de una sucesión aritmética

Teorema: fórmulas para $Descripción: S_{n}$

Si $Descripción: a_{1}, a_{2}, a_{3},...,a_{n},...$ es una sucesión aritmética con diferencia común

, entonces la n-ésima suma parcial $Descripción: S_{n}$ (esto es, la suma de los primeros

términos), está dada por

Demostración

Podemos escribir
.

Con el uso repetido de las propiedades conmutativa y asociativa de números reales resulta ,

con $Descripción: a_{1} n$ veces dentro del primer par de paréntesis. Así.

La expresión dentro de corchetes es la suma de los primeros

enteros positivos. Con la fórmula para la suma de los primeros

enteros positivos, , entonces tenemos

Sustituimos en la última ecuación por $Descripción: S_{n}$ y factorizamos

con lo cual

Puesto que , la última ecuación es equivalente a

Sucesiones Geométricas

Definición de sucesión geométrica

Una sucesión $Descripción: a_{1}, a_{2},..., a_{n},...$ es una sucesión geométrica si $Descripción: a_{1} \neq 0$ y si hay un número real $Descripción: r \neq 0$ tal que para todo entero positivo

El número se conoce la razón común de la sucesión.

Observa que la razón común es la razón entre dos términos sucesivos cualesquiera de una sucesión geométrica.

Formula para hallar el n-ésimo término de una sucesión geométrica

Teorema: fórmula para hallar $Descripción: S_{n}$

La n-ésima suma parcial $Descripción: S_{n}$ de una sucesión geométrica con primer término $Descripción: a_{1}$ y razón común

Demostración

Por definición, la n-ésima suma parcial de una sucesión geométrica es

. (1)

Si multiplicamos ambos lados de (1) por

obtenemos

. (2)

Si restamos la ecuación (2) de la (1), todos los términos de la derecha (con excepción de dos) se cancelan y obtenemos:

factorizar ambos miembros.

dividir entre (1-r)

4.1.2

Convergencia y divergencia

Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a a.

Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.Una sucesión que carece de límite se llama oscilante.

o La sucesión an = 1/n converge a 0.

o La sucesión an = n2 es divergente.

o La sucesión an = sen n es oscilante, pues sus valores varían entre 1 y -1.

5.2.1

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Pitágoras de Samos

Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes $Descripción: a \,$ y $Descripción: b \,$ , y la medida de la hipotenusa es $Descripción: c \,$ , se establece que:

(1)

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas

Demostraciones

El Teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de Magíster matheseos.

Algunos autores proponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.

En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.

Demostraciones supuestas de Pitágoras

Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza de los triángulos ABC, AHC y BHC. La figura coloreada hace evidente el cumplimiento del teorema.

Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.¹

Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. El segmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienen sus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos son semejantes.

De la semejanza entre ABC y AHC:

y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

De la semejanza entre ABC y BHC:

Los resultados obtenidos son el teorema del cateto. Sumando:

Pero , por lo que finalmente resulta:

La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de su razón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema

Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figuras semejantes.

Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:

siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:

obtenemos después de simplificar que:

pero siendo la razón de semejanza, está claro que:

Es decir, "la relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".

Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:

que de acuerdo con las propiedades de las proporciones nos da:

(I)

y por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC resulta que:

pero según (I) , así que:

y por lo tanto:

quedando demostrado el teorema de Pitágoras.

Los cuadrados compuestos en el centro y a la derecha tienen áreas equivalentes. Quitándoles los triángulos el teorema de Pitágoras queda demostrado.

Es asimismo posible que Pitágoras hubiera obtenido una demostración gráfica del teorema.

Partiendo de la configuración inicial, con el triángulo rectángulo de lados a,b, c, y los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa –izquierda-, se construyen dos cuadrados diferentes:

Uno de ellos –centro- está formado por los cuadrados de los catetos, más cuatro triángulos rectángulos iguales al triángulo inicial.

El otro cuadrado –derecha- lo conforman los mismos cuatro triángulos, y el cuadrado de la hipotenusa.

Si a cada uno de estos cuadrados les quitamos los triángulos, evidentemente el área del cuadrado gris () equivale a la de los cuadrados amarillo y azul (), habiéndose demostrado el teorema de Pitágoras.

Demostración de Leonardo da Vinci

El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.

En el elenco de inteligencias que abordaron el teorema de Pitágoras no falta el genio del Renacimiento, Leonardo da Vinci.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

1. Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.

2. Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

§ De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ

§ Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:

§ A de ADGB y A de CIJA

§ B de ADGB y J de CIJA

Se concluye que ADGB y CIJA son iguales.

De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Además, de un modo semejante a lo explicado en la demostración de Euclides, nótese que un giro de centro A, y sentido positivo, transforma CIJA en ADGB. Mientras que un giro de centro B, y sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

5.2.2

Seno, coseno y tangente

Tres funciones, la misma idea.

Triángulo rectángulo

Antes de concentrarnos en las funciones, nos ayudará dar nombres a los lados de un triángulo rectángulo, de esta manera:

(Adyacente significa tocando el ángulo, y opuesto es opuesto al ángulo... ¡claro!)

Seno, coseno y tangente

Las tres funciones más importantes en trigonometría son el seno, el coseno y la tangente. Cada una es la longitud de un lado dividida entre la longitud de otro... ¡sólo tienes que aprenderte qué lados son!

Para el ángulo θ :

Función seno:	sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa
Función coseno:	cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa
Función tangente:	tan(θ) = Opuesto / Adyacente

Nota: el seno se suele denotar sin() (por la palabra inglesa "sine") o sen(). Aquí utilizaremos sin() pero puedes encontrarte la otra notación en otros libros o sitios web.

Sohcahtoa

Sohca...¿qué? ¡Sólo es una manera de recordar qué lados se dividen! Así:

*Soh...*	Seno = Opuesto / Hipotenusa
*...cah...*	Coseno = Adyacente / Hipotenusa
*...toa*	Tangente = Opuesto / Adyacente

Apréndete "sohcahtoa" - ¡te puede ayudar en un examen!

EmpoC

lunes, 27 de agosto de 2012

Matemáticas Temas: 3.7.2 al 5.2.3

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