Matemática 1.1.1 al 2.1.2 y 1.1.1 al 2.1.1

MATEMATICAS

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1.1.1

Problemas polinomiales: suma

Para sumar polinomios, sumamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.

Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x⁵ + 2x³ - 5x² + 6 y Q(x) = 8x³ + 3x² - x - 4
El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x⁵ + 10x³ - 2x² - x + 2
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumado aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x³ + 8x³ = 10x³
-5x² + 3x² = -2x³
6 - 4 = 2

Problemas polinomiales: RESTA

Para restar polinomios, restamos entre sí aquellos monomios que tengan la misma parte literal.

Por ejemplo, consideremos los polinomios
P(x)= 3x⁵ + 2x³ - 5x² + 6 y Q(x) = 8x³ + 3x² - x - 4
El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x⁵ - 6 x³ - 8x² + x + 10
Fíjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece sólo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecen sólo en Q(x) se les cambia el signo y restamos aquellos monomios que tenían la misma parte literal:
2x³ - 8x³ = -6x³
-5x² - 3x² = -8x³
6 - (-4) = 10

Problemas polinomiales: MULTIPLICACION Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letra con la letra. Al multiplicar las letras iguales se  suman los exponentes, ya que es una multiplicación de potencias de igual base.

A = -3x² + 2x⁴ - 8 - x³  + 5x
B = -5x⁴

    -3x²  +  2x⁴  -  8  -  x³   +  5x

    X                                  -5x⁴
______________________________
   15x⁶ - 10x⁸ + 40x⁴ + 5 x⁷ - 25x⁵


A x B = 15x⁶ - 10x⁸ + 40x⁴ + 5 x⁷ -  25x⁵

Problemas polinomiales: DIVICION

En este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglas de división de fracciones de la aritmética.

• Se aplica ley de signos

• Se multiplica el dividendo del primer termino por el divisor del segundo para crear el dividendo de la division, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la division (esto se llama división cruzada)

• Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor

• Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.

Ejemplos:

1.1.2

Determinación de productos notables Son aquellos productos que se rigen por reglas fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección.

1. ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
2. Binomio de Suma al Cuadrado

( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

3. Binomio Diferencia al Cuadrado

( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2

4. Diferencia de Cuadrados

( a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

= a3 + b3 + 3 ab (a + b)

5. Binomio Suma al Cubo

( a - b )3 = a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3

6. Binomio Diferencia al Cubo

a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 – ab + b2)

7. Suma de dos Cubos

• Diferencia de Cubos

a3 - b3 = ( a - b ) ( a2 + ab + b2)

• Trinomio Suma al Cuadrado ó Cuadrado de un Trinomio

( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

= a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ac)

• Trinomio Suma al Cubo

( a + b + c)3 = a3 + b3 + c + 3(a + b) . (b +c) . (a + c)

• Identidades de Legendre

( a + b)2 + ( a – b)2 = 2 a2 2b2 = 2(a2 + b2)

( a + b)2 + ( a – b)2 = 4 ab

• Producto de dos binomios que tienen un término común

( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

1.1.3

Desarrollo de potencias.

Es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe aⁿ y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n.

1.2.1

 Factorización de fracciones complejas

Se considera una fracción compleja aquella en cuyo numerador o denominador o en ambos hay varias operaciones indicadas. Para -llevar a cabo la simplificación se realizan operaciones en el nu-merador y denominador separadamente hasta convertirlos en un solo quebrado cada uno de ellos y finalmente se realiza la división de los quebrados resultantes.

Ejemplos.

Simplificar:

1.2.2

 Potenciacion de polinomios La potencia de un polinomio, P(x)ⁿ, es una forma abreviada de escribir el producto del polinomio n veces:

P ( x ) n = P ( x ) · P ( x ) · ... · P ( x ) ︸ n veces

Calculamos la potencia de un binomio (polinomio de dos términos).

(x + y)¹ = x + y

(x + y)² = (x + y) · (x + y) = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = (x + y) · (x + y)² = x³ + 3x²y + 3xy² + y³

1.2.3

Fracciones algebraicas

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones niuméricas.

Ejemplos: Simplificar fracciones algebraicas

Simplifica:

1.2.4

Simplificación de fracciones complejas

Se le llama fracción compleja o compuesta, a cualquier forma fraccionaria que tenga fracciones en el numerador o el denominador. Con frecuencia es necesario representar una fracción compleja en la forma de fracción simple.

Simplificar

Solución: Utilizaremos el primer método, o sea la división de una fracción simple entre otra:

1.3.1

Identificación de las propiedades de las operaciones básicas aritméticas

Suma

La suma es una operación que se deriva de la operación de contar. Los

términos de la suma se llaman sumandos. Las propiedades de la suma son:

Conmutativa: a + b = b + a.

Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c.

Elemento neutro: a + 0 = a.

Elemento simétrico: a + (-a) = 0.

Resta

Al igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación

de contar. Los términos de la resta se llaman minuendo (cantidad inicial) y

sustraendo (cantidad a descontar). Las propiedades de la resta son:

No es conmutativa: a - b ≠ b – a.

No es asociativa: a - (b - c) ≠ (a - b) - c.

Elemento neutro: a – 0 = a.

Elemento simétrico: a – (a) = 0.

Producto

Muchas veces tenemos que sumar un número consigo mismo varias veces.

Por ejemplo, si tenemos que sumar 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5, sería más breve

representarlo así 5 · 7 (esto significaría sumar 5 condigo mismo 7 veces). La

multiplicación es una forma abreviada de hacer un tipo especial de sumas. Los

términos de la multiplicación se llaman multiplicando (el numero que se suma) y

multiplicador (el número de veces que se suma). Las propiedades de la

multiplicación son:

Conmutativa: a · b = b · a

Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c

Elemento neutro: a · 1 = a

Elemento simétrico: a · 1/a ≡ a / a = 1

Distributiva respecto de la suma: a · (b + c) = a · c + a · d

División

La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número

de cosas entre un número de personas. Los términos de la división se llaman

dividendo (el número de cosas), divisor (el número de personas), cociente (el

numero que le corresponde a cada persona) y resto (lo que sobra). Si el resto es

cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.

Propiedades de la división:

No conmutativa: a / b ≠ b / a

No asociativa: a / (b / c) =(a / b) / c

Elemento neutro: a / 1 = a

Elemento simétrico: a / a = 1

1.4.1

Representación de patrones geométricos y numéricos

Un patrón es una sucesión de signos (orales, gestuales, gráficos, de comportamiento, etc.) que se construye siguiendo una regla (algoritmo), ya sea de repetición o de recurrencia. Son patrones de

Repetición aquellos en los que los distintos elementos son presenta-dos en forma periódica.

Patrón Numérico
Una lista de números que siguen una cierta secuencia o patrón.

Ejemplo: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... Empieza con 1 y salta 3 cada vez.

Ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32, ... Duplica cada vez.

Patrón geométrico

Es una figura que puede ensamblarse con otras idénticas para conformar un dibujo , guarda u otra figura de mayor extensión. Un caso natural de patrón geométrico lo constituyen los árboles que se valen de la bifurcación para conformar su copa base.

1.4.2

Identificación de patrones en fenómenos, físicos, económicos, sociales, políticos.

Cuando hablamos de identificación queremos decir en describir patrones en fenómenos naturales, fiscos, económicos, sociales y políticos. En los fenómenos lo podemos identificar por medio de sombras, agua, relámpagos, rayos, (en pocas palabras nos referimos a los fenómenos naturales). Cuando hablamos en los físicos nos referimos a instrumentos como brújulas, compas, transportadores, utensilios de geometría, utensilios de vestuario físico (lentes, batas, lámparas). Al hablar de economía nos referimos a las graficas que muestran los valores de ingresos y egresos de un comercio o de un país, dinero (billetes, monedas, cheques). Cuando hablamos de social nos referimos a objetos que ayudan al ser humano a convivir como es fiestas, reuniones laborales, bebidas alcohólicas, música, parques, etc.

1.5.1

Demostración de patrones en el sistema calendario maya, nombres y los glifos de los días.

  

1.5.2

 Explicación del cholq’ij, el ab’, el tun (Calendario sagrado de 260 días, año solar de 365 días y el ciclo de 360 días) y sus múltiplos.

cholq’ij (término maya kaqchikel) es un calendario sagrado del pueblo Maya, compuesto por 260 días divididos en 13 meses. También recibe el nombre de calendario ritual o calendario sagrado o Tzolkin .

El Ab’, Calendario de 365 días, el año agrícola es identificado con el hombre, el sol y el maíz; ya que el calendario sagrado de 260 días es identificado con la mujer, es la luna y tierra, frijol y ayote. La tierra, la luna y el sol son la trinidad cósmica; el frijol el ayote y el maíz la trinidad agrícola; Esta situación de equilibrio y complementariedad entre el hombre y la mujer se refleja en el desarrollo del calendario, ya que los dos se conjugan y conforman una rueda calendárica. El Ab’ está compuesto por 18 meses de 20 días cada uno, más un mes de 5 días que es el Wayeb’ y suma 365 días.

TUN: 360 días ó 18 Uinal, el año maya.

2.1.1

 Utilización de conectivos lógicos.

una conectiva lógica, o simplemente conectiva, es un símbolo que se utiliza para conectar dos fórmulas, de modo que el valor de verdad de la fórmula compuesta dependa del valor de verdad de las fórmulas componentes.

En programación se utilizan para combinar valores de verdad y obtener nuevos valores que determinen el flujo de control de un algoritmo o programa.

Las conectivas lógicas son, junto con los cuantificadores, las principales constantes lógicas de muchos sistemas lógicos, principalmente la lógica proposicional y la lógica de predicados.

Dado que las conectivas son funciones de verdad, existirán tantas conectivas como funciones de verdad. Sin embargo, no todas las funciones de verdad tienen análogos en el lenguaje natural, y en consecuencia, no todas son estudiadas con el mismo interés. A continuación se incluye una tabla que lista las 16 conectivas binarias posibles.

2.1.2

 Elaboración de tablas de valor

Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran. Sea el caso: .

Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:

Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3)

Una columna (Columna 4) en la que se establecen los valores de aplicando la definición del disyuntor a los valores de B y de C en cada una de las filas.(Columnas 2,3 → 4)

Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la columna , (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa , cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que consideremos. (Columnas 1,4 → 5)

Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición es V y cuándo es F.

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1.1.1

Descripción de ángulos y funciones trigonométricas.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal. Pueden estar definidos sobre superficies planas o curvas. Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

funciones trigonométricas

son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

1.1.2

Representación gráfica de funciones trigonométricas

1.2.1

Aplicación de las leyes de senos y cosenos.

La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.

La ley de senos nos dice que la razón entre la longitud de cada lado y el seno del ángulo opuesto a el en todo triángulo es constante.Si observamos la figura 1, la ley de senos se escribirá como sigue:

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.

Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de senos y/o la ley de cosenos. Todo dependerá de los valores conocidos.

Ejemplo:

Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del del tercer lado y la medida de los otros dos ángulos.

Solución:

Calculemos el ángulo

como los tres ángulos internos deben sumar 180º , podemos obtener el ángulo ,

Para calcular el lado c podemos utilizar nuevamente la ley de senos:

La ley de cosenos se puede considerar como una extención del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de untriángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:

Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.

Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.

Ejemplo:

Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer lado.

Solución:

Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:

1.2.2

 Aplicación de suma y resta en ángulos.

La suma de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la suma de las amplitudes de los dos ángulos iniciales.

Numérica

1º Para sumar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

2º Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos.

3º Se hace lo mismo para los minutos.

Resta de ángulos

La resta de dos ángulos es otro ángulo cuya amplitud es la diferencia entre la amplitud del ángulo mayor y la del ángulo menor.

 Para restar ángulos se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

 Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

3º Hacemos lo mismo con los minutos.