Matematica 2.1.3 - 3.1.1 y 2.1.2 - 3.1.2

Construcción de gráficas

 

FUNCIONES INVERSAS

Sabemos que una función es un conjunto de pares. Se nos puede ocurrir la idea de dar la vuelta a los pares y obtener así una nueva función. Hagámoslo con la función:

f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, -2) }

y observemos qué pasa llamando g al conjunto resultante:

g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (-2, 4) }

Hemos obtenido una nueva función.

Sin embargo, esto no funciona siempre. Tomemos ahora como f el conjunto:

f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) }

y, entonces, g será:

g = { (2, 1), (4, 2), (-1, 3), (2, 4) }

que no es una función, pues g(2) no está determinado de forma única; es decir, g no cumple la condición de función. Existen dos pares, (2, 1) y (2, 4), que tienen la misma primera coordenada y la segunda coordenada es distinta.

¿Cuál es la diferencia entre estos dos ejemplos? Sencillamente, que en el segundo ejemplo f(1)=f(4)=2 y al darle la vuelta a los pares, g(2) no está determinado de forma única; con lo cual g no es una función. En el primer ejemplo, para valores diferentes de la "x" se obtienen valores diferentes de la "y". Las funciones que se comportan como la del primer ejemplo se llaman funciones inyectivas o uno a uno.

DEFINICIÓN: Una función f es inyectiva o uno a uno si f(a) es distinto de f(b) cuando a es distinto de b.

Cuando al invertir los pares de que consta una función se obtiene otra función, decimos que dicha función tiene inversa (también llamada recíproca). Por lo dicho anteriormente, sólo tienen inversas las funciones inyectivas.

DEFINICIÓN: Si f es una función inyectiva, llamamos función inversa de f y la representamos por f-1 al conjunto:

f-1 = { (a, b) / (b, a) Î f }

Es decir, f-1 = { (x, y) / x=f(y), si y es del dominio de f } = { (f(y), y) / si y es del dominio de f }

De la definición se sigue inmediatamente que el dominio de la función inversa f-1 es el rango de f y, recíprocamente, el rango de f-1 es el dominio de f. También es fácil observar que f-1(a)=b es equivalente a decir que f(b)=a. Utilizando la "x" y la "y" que tan acostumbrado estamos a usarlas cuando se habla de funciones: f-1(x)=y es equivalente a decir que f(y)=x. Otra forma de decir esto es: f(f-1(x))=x (donde x pertenece al rango de f), o bien, f-1(f(x))=x (donde x pertenece al dominio de f). Utilizando la composición de funciones y llamando I (función Identidad) a la función definida por I(x)=x, podemos escribir:

fof-1 = I y f-1of = I

salvo que el segundo miembro de estas dos igualdades tendrá un dominio más amplio que el primer miembro si el dominio de f o de f-1 no es todo R.

Por cierto, si una función tiene inversa, ¿a qué será igual (f-1)-1, o sea, la función inversa de la función inversa?

La idea de función inversa se ha utilizado muchas veces en los cursos anteriores a este nivel, sólo que no se le ha dado nombre. Recordar cómo se definía raíz cuadrada, cúbica...

Para determinar si una función tiene inversa tenemos que observar sus pares y ver si es inyectiva. Esto es muy fácil de hacer cuando la función viene dada por una lista de pares. Cuando la función viene definida por una propiedad, todo se complica y no siempre tendremos suficientes conocimientos matemáticos para determinar tal circunstancia (del mismo modo que nos pasaba cuando queríamos determinar si un determinado conjunto era o no función).

La representación gráfica de la función nos permitirá saber si la función tiene inversa o no, al menos en los casos más comunes. Basta observar que la definición de función inyectiva significa, gráficamente, que no hay dos puntos de la función situados sobre la misma recta horizontal. O dicho de otra forma, a partir de la representación gráfica de f, se construye la representación gráfica del conjunto de pares invertidos y se observa si este conjunto es función o no.

EJEMPLOS:

La función f definida por y=2x-3, es decir, f = { (x, y) / y=2x-3 } = { (x, 2x-3) } tiene inversa y su inversa será f-1 = { (y, x) / y=2x-3 } = { (x, y) / x=2y-3 } = { (2x-3, x) }

La función g definida por y=x2-2x-2, es decir, g = { (x, y) / y=x2-2x-2 } = { (x, x2-2x-2) } no tiene inversa. Por ejemplo, los pares (0, -2) y (2, -2) pertenecen a g y por lo tanto, g no es inyectiva.

La siguiente escena presenta ambos ejemplos. La función f o g aparecerá en azul y el conjunto de pares invertidos en rosa. Un control que se mueve a través de las funciones nos va mostrando un par de la función y otro punto nos presenta el correspondiente par invertido. Se podrá observar también en la escena una recta, la bisectriz del primer y tercer cuadrante (la recta de ecuación y=x). Observar que las gráficas de una función y de su conjunto de pares invertidos son simétricas respecto de dicha recta.

Problemas de Aplicación:

  f (x) = 3x x= 3y f -1 (x) = 

  f (x) = 3x -1 
x = 3y -1 f -1 (x) = 

  f (x) = x3 x = y3 f -1 (x) = 

  f(x) =x2 -2 x = y 2 -2 f -1 (x) = 

  f(x) = x 4 x = y 4 f -1 (x) = 

  f(x) = 8 - 3x x =8 - 3y f -1 (x) = 

  f(x) = x3 - 1 x = y3 -1 f -1 (x) = 

8. f(x) = 
x = 
f -1 (x) = x 2

9. f (x) = 2 - x 3 x = 2 - y 3 f -1 (x) = 

10. f (x) = 
x = 
f -1 (x) = x 2 -3

11.f (x) = 
x = 
f -1 (x) = x2 -2 + 3

12. f (x) = 5x -7 x = 5y - 7 f -1 (x) = 

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  3. Funciones logarítmicas

Función inversa de la exponencial Dada una función inyectiva, y=f(x), se llama función inversa de f a otra función, g, tal que g(y)=x. En la escena adjunta construimos paso a paso la inversa de la función exponencial. Para cada x se obtiene ax. Al valor obtenido lo llamamos y o f(x). La función inversa de la exponencial es la que cumple que g(y)=x. Esta función se llama función logarítmicay, como puedes observar, es simétrica de la función exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Funciones polinómicas:

Las funciones polinómicas son, como su nombre lo dice, funciones que constan de un polinomio.

en donde n es un entero positivo, llamado, grado del polinomio. Resulta evidente, que el coeficiente del grado mayor, no puede ser cero, o sea, a tiene que ser diferente de cero, para que el grado del polinomio se n. Cualquiera de los otros coeficientes puede ser cero.

Ejemplos de funciones polinómicas son:

 , la cual es de grado 3, ya que el exponente mayor es 3.

, que es una función polinómica de grado 2, o sea cuadrática, cuya gráfica es una parábola.

, que es de grado 6, ya que multiplicando todos los paréntesis, nos daría como mayor exponente el 6. Esta función se grafica más adelante, para hacer notar, que las intersecciones con los ejes y la factorización de la función polinomial tienen una estrecha relación.

La gráfica de las funciones polinómicas depende del grado de la función. Las funciones polinómicas de ciertos grados tienen ciertas alternativas de gráfica. Queda a este curso de derivadas averiguar algunas de las características de las funciones para poder predecir su comportamiento.

Muchas veces a partir de la gráfica de un polinomio se puede deducir la ecuación de la función. Ésto se puede hacer a partir de las intersecciones con los ejes. (Conste que comenté, que muchas veces, NO SIEMPRE).

Una función polinómica con el más alto número de intersecciones con el eje "x" permisible, es aquella que se puede determinar su gráfica y su ecuación.

Una función de, por ejemplo, tercer grado puede tener como máximo 3 intersecciones con el eje "x".

Una función de sexto grado puede tener como máximo 6 intersecciones con el eje "x".

Cabe aclarar, que las funciones polinómicas, aunque no conozcamos ahora los términos específcos, son funciones continuas,sin asíntotas verticales, ni horizontales, que según el grado pueden presentar máximos, mínimos y puntos de inflexión.

Suponiendo que la función que se nos presenta es de tercer grado, y sus intersecciones están en x = 2, x = -1 y en x = -3; la ecuación de la función es f(x) = (x-2)(x+1)(x+3)

Debe quedar claro, que se tiene que conocer el grado de la función polinómica, ya que sin éste, las conclusiones que se puedan sacar pueden estas equivocadas. Tenemos una función polinómica de grado 6, que sus intersecciones se encuentran en x = 1, x = 2, x = -1, x = 3, x = -2 y en x = 0; por lo tanto la función es: f(x) = (x-1)(x-2)(x+1)(x-3)(x+2)(x)

Logica en la vida cotidiana:

La logica te ayuda a resolver los problemas de forma instantanea, sin tener que pedir pistas, ni consejos de nadie. 

SEMANTICA Y SINTAXIS DE PROPOSICIONES
El valor de verdad de una proposición lógica atómica (o variable proposicional) es, por definición, verdadero o falso (podemos representarlo como V o F). Así el enunciado “llueve” es verdadero si y sólo si está lloviendo en ese momento. Pero si dicho enunciado se considera como proposición lógica atómica, p, entonces puede ser tanto verdadera como falsa.
Es una verdad de hecho o contingente, porque tiene los dos posibles valores de verdad, por la propia definición de proposición lógica.
Una fórmula sintácticamente correcta se define de acuerdo a las siguientes reglas.
Las proposiciones p, q, r, s, .... son fórmulas correctamente formadas.
  * Si A y B son fórmulas correctas, también son fórmulas correctas:
  * ~A, ~B
  * (A B)
  * (A v B)
  * (A B)
  * (A B)
  * Sólo son fórmulas correctas las que cumplen las condiciones anteriores.

¿Cómo formalizar el lenguaje formal?
  * Identificar los enunciados simples
  * Asignar a cada enunciado simple una constante proposicional
  * Identificar los conectivos lógicos: negación, disyunción, condicional, etc.
  * Reconstruir los enunciados complejos a partir de los simples y los conectivos lógicos.
Tautología y contradicción
Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.

P | Q | P´ | Q´ | pq | q´p´ | (pq)(q´p´) |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |

Aplicación de métodos de demostración: Métodos directos, indirectos y por reducción al absurdo.

En las proposiciones matemáticas en forma de implicación el Método de Reducción al Absurdo consiste en negar el consecuente. Considerando el antecedente verdadero, para llegar posteriormente a una contradicción.
Ejemplo:
Demostrar que si todos los números pares son divisible entre dos, entonces, 6 es un número par.
Demostración por Reducción al absurdo:
Supongamos que 6 no es par, entonces 6 es impar; pero 6 dividido entre dos es igual a 3, lo que significa que 6 es divisible entre 2. En contradicción con lo que se supuso, por lo tanto 6 es un número par.

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Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipoimaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado porLeonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

La noción de número complejo aparece ante la imposibilidad de los números reales de abarcar a las raíces de orden par del conjunto de los números negativos. Los números complejos pueden, por lo tanto, reflejar a todas las raíces de los polinomios, algo que los números reales no están en condiciones de hacer.

Gracias a esta particularidad, los números complejos se emplean en diversos campos de las matemáticas, en la física y en laingeniería. Por su capacidad para representar la corriente eléctrica y las ondas electromagnéticas, por citar un caso, son utilizados con frecuencia en la electrónicay las telecomunicaciones. Y es que el llamado análisis complejo, o sea la teoría de las funciones de este tipo, se considera una de las facetas más ricas de las matemáticas.

Cabe resaltar que el cuerpo de cadanúmero real está formado por pares ordenados (a, b). El primer componente (a) es la parte real, mientras que el segundo componente (b) es la parte imaginaria. Los números imaginarios puros son aquellos que sólo están formados por la parte imaginaria (por lo tanto, a=0).

Los números complejos componen el denominado cuerpo complejo (C). Cuando el componente real a es identificado con el correspondiente complejo (a, 0), el cuerpo de estos números reales (R) se transforma en un subcuerpo de C. Por otra parte, C conforma un espacio vectorial de dos dimensiones sobre R. Esto demuestra que los números complejos no admiten la posibilidad de mantener un orden, a diferencia de los números reales.

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Operaciones de números complejos en la forma binómica

Suma y diferencia de números complejos

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(5 + 2 i) + ( − 8 + 3 i) − (4 − 2i ) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i

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Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i² = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6 i² = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

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División de números complejos

El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

Representación gráfica en el plano de números complejos.

Definición

Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente , le asocia un único valor de la variable dependiente , que llamaremos imagen de . Decimos que y es función de  y lo representamos por