Física

Escalares y vectores

Vectores

En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (olongitud), su dirección (u orientación) y su sentido (que distingue el origen del extremo).¹ ² ³

En matemáticas se define un vector como un elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo, la longitud y la orientación (ver Espacio vectorial).

Los vectores en un espacio euclídeo se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el plano $\R^2$ o en el espacio $\R^3$ .

Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad con que se desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.

Escalar

Una magnitud física se denomina escalar cuando puede representarse con un único número (única coordenada) invariable en cualquier sistema de referencia. Así la masa de un cuerpo es un escalar, pues basta un número para representarla (por ejemplo: 75 kg). Por el contrario una magnitud es vectorial o más generalmente tensorial, cuando se necesita algo más que un número para representarla completamente. Por ejemplo, la velocidad del viento es una magnitud vectorial, ya que además de su módulo (que se mide como una magnitud escalar), debe indicarse también su dirección (norte, este, etc.), que se define por un vector unitario. En cambio, la distribución de tensiones internas de un cuerpo requiere especificar en cada punto una matriz llamada tensor tensión y por tanto el estado de tensión de un cuerpo viene representado por una "magnitud tensorial"

Magnitudes escalares y vectoriales

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Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento, lavelocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras llamadas escalares.

Las magnitudes escalares quedan representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de suscomponentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.⁵ ⁶

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.¹ ² ³

Notación

Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).

Ejemplos

§ $\mathbf A, \ \mathbf a,\ \boldsymbol{\omega},$ ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector: $|\mathbf A|, \ |\mathbf a\,\ |\boldsymbol{\omega}|,$ ...

§ En los textos manuscritos se escribe: $\vec A, \ \vec a,\ \vec{\omega},$ ... para los vectores y $|\vec A|, \ |\vec a|,\ |\vec {\omega}|,$ ... o $A, \ a,\ {\omega},$ ... para los módulos.

Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la forma $\mathbf A = \overrightarrow{MN}, \mathbf B = \overrightarrow{OP} \,$ , ... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.

Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo $\mathbf{\hat{u}}, \mathbf{\hat{v}}$ .

OBJETIVOS:

Los objetivos de cada problema relacionado, son:
* Aplicar los conocimientos obtenidos durante el curso de Física I para ingeniería sobre el péndulo balístico, para la comprensión y resolución de los problemas planteados.

* Resolver una ecuación diferencial de segundo orden con los conocimientos adquiridos durante el curso de Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería, en conjunto con el enunciado del problema físico-matemático planteado.

* Realizar una demostración matemática utilizando los resultados obtenidos.

* Aplicar Trigonometría y Serie de Maclaurin para demostrar la velocidad de la bala (vb).

* Comprobar los resultados obtenidos a través del cálculo matemático tradicional con los resultados arrojados por el programa Matlab, utilizando el método de Runge-Kutta.
Los objetivos a grandes rasgos del trabajo en general, son:
* Resolver problemas físicos (los cuales están presentes en la naturaleza y vida diaria) a través de los conocimientos obtenidos durante el curso de Ecuaciones Diferenciales para Ingeniería.
* Profundizar los conocimientos matemáticos investigando sobre el método de Runge-Kutta y comprobar a través de éste método con ayuda de los recursos tecnológicos (Matlab), los resultados obtenidos de la forma tradicional.

La eficacia de una cantidad vectorial depende de la dirección en la que actúa. Por ejemplo, suponga una fuerza (cantidad vectorial) que mueve una caja grande arrastrándola por el suelo. La caja se moverá más fácil si se hala por medio de una cuerda inclinada (como se muestra en la figura) que si se empuja, debido a que la cuerda levanta la caja y la mueve hacia adelante al mismo tiempo. En forma similar, al empujar la caja, se produce el efecto de añadir peso. Esto da la idea de que una fuerza, y en general, un vector, tiene componentes verticales y horizontales que podrían reemplazar al vector.

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En general, las componentes de un vector son otros vectores, en direcciones particulares. El eje de referencia principal más utilizado es el plano cartesiano. Según éste marco de referencia, las componentes horizontales son vectores en dirección al eje x y las componentes verticales son vectores en dirección al eje y.

Las magnitudes de las componentes se encuentran relacionadas con la magnitud del vector principal por medio del teorema de pitágoras, tomando como catetos las componentes, y como hipotenusa el vector principal. La dirección del vector principal relaciona también a las magnitudes de las componentes por medio de las relaciones trigonométricas conocidas para un triángulo rectángulo simple. Las relaciones más utilizadas son el seno, coseno y tangente.

Ejemplo. Encuentre la magitud de las componentes en x e y del vector (3.5 u,60º).

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La componente en x se puede encontrar fácilmente utilizando la relación del cosena:

Resolviendo: Componente en x = (3.5 u)*cos(60º) = 1.75 u.

De manera similar, se puede encontrar la magnitud de la componente en y por medio de la relación del seno; pero además se conoce la magnitud del vector principal, lo cual permite utilizar el teorema de pitágoras:

Resolviendo:

Componente en y = 3.03 u

En general, las componentes de un vector pueden verse como efectos o proyecciones a lo largo de los ejes x e y. Considere el vector V. Podemos escribir las componentes en x e y del vector V en términos de su magnitud V y su dirección θ:

- Componente en x, o Vx = V cos θ

- Componente en y, o Vy = V sen θ

donde θ es el ángulo, medido en dirección antihoraria, entre el vector V y el lado positivo del eje x.

Operaciones con Vectores método gráfico.

Este método es utilizado por aquellos que no tienen aun dominio del método analítico más exacto. Es necesaria cierta destreza en el manejo del instrumental de medidas, ya que la exigencia es la representación correcta del vector, es decir el dibujo.

Generalmente la dirección es tomada según su inclinación con el eje horizontal “eje x”, el ángulo debe ser preciso, (la alteración de unos pocos grados perjudicaran la operación en gran medida).

En cuanto al módulo del vector, debe darse según una escala apropiada, esto significa que la escala elegida sea fácilmente representada en el dibujo, pero teniendo en cuenta que si la representación del vector es pequeña propiciara la deficiencia de la operación.

Este procedimiento al igual que otros que dependen de una buena representación no solo son poco precisos, sino que solo son aplicables si se está trabajando con vectores contenidos en un plano, de lo contrario se hace imposible sumar más de dos vectores.

Suma de Vectores. Método Analítico

Si poseemos todos los vectores según su expresión analítica, para sumarlos, se reduce el problema a una simple suma numérica por componentes. Ver punto 1.3.
Si necesitamos sumar el vector A = Ax i + Ay j con el vector B = Bx i + By j escribimos:

C = A + B = Ax i + Ay j + Bx i + By j = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j

Siendo la suma de los números entre paréntesis las componentes del nuevo vector.

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En el caso de una diferencia entre vectores, limitamos el problema a sumar el opuesto. Es decir que el vector sustraendo poseerá sus componentes con signo opuesto.

Suma de Vectores. Método Analítico

• Suma de Componentes
La suma gráfica de vectores con regla y transportador a veces no tiene la exactitud suficiente y no es útil cuando los vectores están en tres dimensiones.

Sabemos, de la suma de vectores, que todo vector puede descomponerse como la suma de otros dos vectores, llamados las componentes vectoriales del vector original. Para sumarlos, lo usual es escoger las componentes sumando a lo largo de dos direcciones perpendiculares entre sí.

Ejemplo Suma Vectores: suponga un vector V cualquiera

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Trazamos ejes coordenados x y con origen en la cola del vectorV. Se trazan perpendiculares desde la punta del vector V a los ejes x y y determinándose sobre el eje x la componente vectorialV_x y sobre el eje y la componente vectorial V_y.

Notemos que V = V_x + V_y de acuerdo al método del paralelógramo.

Las magnitudes de V_x y V_y, o sea V_x y V_y, se llaman componentes y son números, positivos o negativos según si apuntan hacia el lado positivo o negativo de los ejes x y y.

Notar también que V_y = Vsen

y V_x = Vcos

• Suma de Vectores Unitarios
Frecuentemente las cantidades vectoriales se expresan en términos de

unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una dirección determinada. Se usan los símbolos i, j yk para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.

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Ahora V puede escribirse

V = A_x i + A_y j
Si necesitamos sumar el vector A = A_x i + A_y j con el vector
B = B_x i + B_y j escribimos
R = A + B = A_x i + A_y j + B_x i + B_y j = (A_x + B_x)i + (A_y + B_y)j
Las componentes de R (=A + B) son R_x = A_x + B_x y R_y = A_y + B_y

Producto de un vector por un escalar.

Representaremos las variables escalares con una letra: e, r, p, etc., y los vectores en negritas, a , m , v etc.

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El producto de un vector por un escalar (número), es un nuevo vector.

Éste posee:
- La misma dirección del vector original a.
- El módulo igual al producto del modulo de a y el escalar.
- El sentido que será el mismo que el de a, si el escalar es positivo y contrario se éste es negativo.
Nota si el escalar es cero el vector resultante será nulo.
Si el escalar es -1 el vector resultante será llamado opuesto del vector. –a es el opuesto de a.

Producto escalar y producto vectorial.

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma bilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede considerar una forma cuadrática definida positiva.

Un producto escalar se puede expresar como una expresión $\langle \cdot,\cdot \rangle: V \times V \longrightarrow \mathbb{K}$ donde V es un espacio vectorial y $\mathbb{K}$ es el cuerpo sobre el que está definido B. $\langle \cdot,\cdot \rangle$ debe satisfacer las siguientes condiciones:

1. Linealidad por la izquierda: $\langle ax+by,z \rangle = a \langle x,z \rangle + b \langle y,z \rangle$ , y linealidad conjugada por la derecha: $\langle x, ay+bz \rangle = \overline{a} \langle x, y \rangle + \overline{b} \langle x,z \rangle$

2. Hermiticidad: $\langle x,y \rangle = \overline{\langle y,x \rangle}$ ,

3. Definida positiva: $\langle x,x \rangle \geq 0 \,$ , y $\langle x,x \rangle = 0 \,$ si y sólo si x = 0,

donde $x, y, z \in V$ son vectores de V, $a, b \in \mathbb{K}$ representan escalares del cuerpo $\mathbb{K}$ y $\overline{c}$ es el conjugado del complejo c.

Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., $\mathbb{R}$ ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.

También suele representarse por $(\cdot|\cdot)$ o por $\bullet$ .

Un espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacio prehilbertiano. Si además es completo, se dice que es unespacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.

Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:

$\|x\|:= \sqrt{\langle x,x \rangle}$ .

Producto Escalar

En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre dos vectores de unespacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

Producto Vectorial

En álgebra lineal, el producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).

Movimiento de una Dimencion

La cinemática es la rama de la física que estudia las leyes del movimiento (cambios de posición) de los cuerpos, sin tomar en cuenta las causas que lo producen, limitándose esencialmente, al estudio de la trayectoria en función del tiempo. La aceleración es el ritmo con que cambia su rapidez (módulo de la velocidad). La rapidez y la aceleración son las dos principales cantidades que describen cómo cambia su posición en función del tiempo.

Diagrama de un Cuerpo Libre

Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a menudo por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un elemental caso particular de un diagrama de fuerzas. En español, se utiliza muy a menudo la expresión diagrama de fuerzas como equivalente a diagrama de cuerpo libre, aunque lo correcto sería hablar de diagrama de fuerzas sobre un cuerpo libre o diagrama de fuerzas de sistema aislado. Estos diagramas son una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama facilita la identificación de las fuerzas ymomentos que deben tenerse en cuenta para la resolución del problema. También se emplean para el análisis de las fuerzas internas que actúan en estructuras.

velocidad y aceleración media e instantánea

En física, la aceleración es una magnitud vectorial que nos indica el cambio de velocidad por unidad de tiempo. En el contexto de la mecánica vectorial newtoniana se representa normalmente por $\vec a \,$ o $\mathbf a \,$ y su módulo por $a \,$ . Sus dimensiones son $\scriptstyle [ L \cdot T^{-2} ]$ . Su unidad en el Sistema Internacional es el m/s².

En la mecánica newtoniana, para un cuerpo con masa constante, la aceleración del cuerpo es proporcional a la fuerza que actúa sobre él (segunda ley de Newton):

$\mathbf{F} = m \mathbf{a} \quad \to \quad \mathbf{a} = \cfrac{\mathbf{F}}{m}$

donde F es la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo, m es la masa del cuerpo, y a es la aceleración. La relación anterior es válida en cualquier sistema de referencia inercial.

Cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria, queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en módulo como en dirección al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La dirección de la velocidad cambiará debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y ésta, por lo general, no es rectilínea. En la Figura se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t+Δt, cuando la partícula pasa por los puntos P y Q, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad de la partícula durante ese intervalo de tiempo está indicado por Δv, en el triángulo vectorial al pie de la figura. Se define la aceleración media de la partícula, en el intervalo de tiempo Δt, como el cociente:

$<\mathbf a>= \mathbf{\bar{a}}= \frac{\Delta \mathbf v}{\Delta t}$

Que es un vector paralelo a Δv y dependerá de la duración del intervalo de tiempo Δt considerado. La aceleración instantánea se la define como el límite al que tiende el cociente incremental Δv/Δt cuando Δt→0; esto es laderivada del vector velocidad con respecto al tiempo:

$\mathbf{a}= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \mathbf v}{\Delta t} = \frac{d \mathbf v}{dt}$

Puesto que la velocidad instantánea v a su vez es la derivada del vector posición r respecto al tiempo, la aceleración es la derivada segunda de la posición con respecto del tiempo:

$\mathbf{a} = \frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2}$

De igual forma se puede definir la velocidad instantánea a partir de la aceleración como:

$\mathbf v - \mathbf{v}_0= \int_{t_0}^t \left({\mathrm{d}\mathbf{v} \over \mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}t$

Se puede obtener la velocidad a partir de la aceleración mediante integración:

$\mathbf{v}= \int_0^t \mathbf{a} dt + \mathbf{v}_0$

Rapidez media e instantánea.

La rapidez ' o celeridad promedio es la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla. Su magnitud se designa como v. La celeridad es una magnitud escalar con dimensiones de [L]/[T]. La rapidez se mide en las mismas unidades que la velocidad, pero no tiene el carácter vectorial de ésta. La celeridad instantánea representa justamente el módulo de la velocidad instantánea.

Rapidez media

La rapidez media o rapidez promedio es el término que se suele usar para referirnos a la celeridad media.

Conversiones

1 m/s = 3,6 km/h

1 mph = 1,609 km/h

1 knot = 1,852 km/h = 0,514 m/s

Velocidad media

La 'velocidad media' o velocidad promedio es la velocidad en un intervalo de tiempo dado. Se calcula dividiendo el desplazamiento (Δr) entre el tiempo (Δt) empleado en efectuarlo:

(1) $\mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}$

Esta es la definición de la velocidad media entendida como vector (ya que es el resultado de dividir un vector entre un escalar).

Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la velocidad media sobre la trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad escalar. La expresión anterior se escribe en la forma:

(2) $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

La velocidad media sobre la trayectoria también se suele denominar «velocidad media numérica» aunque esta última forma de llamarla no está exenta de ambigüedades.

El módulo de la velocidad media (entendida como vector), en general, es diferente al valor de la velocidad media sobre la trayectoria. Solo serán iguales si la trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno u otro sentido) sin retroceder. Por ejemplo, si un objeto recorre una distancia de 10 metros en un lapso de 3 segundos, el módulo de su velocidad media sobre la trayectoria es:

$v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{10}{3} = 3,3\hat{3} \,\, \text{m/s}$

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.

$\mathbf v= \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \mathbf r}{\Delta t} = \frac {d{\mathbf r}}{dt}$

En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo:

$\mathbf v= \frac {ds}{dt} \ \mathbf u_t = \frac {d{\mathbf r}}{dt}$

donde $\mathbf u_t$ es un versor (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y $\mathbf r$ es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

Representación de aceleración media e instantánea

$<\mathbf a>= \mathbf{\bar{a}}= \frac{\Delta \mathbf v}{\Delta t}$

$\mathbf{a}= \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta \mathbf v}{\Delta t} = \frac{d \mathbf v}{dt}$

Solución de problemas con movimiento relativo aplicados a situaciones del entorno.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/cinematica/relativo/problemas/cinematica_12.gif

Una bandera situada en el mástil de un bote flamea haciendo un ángulo de 45º como se muestra en la figura. pero la bandera situada en la casa flamea haciendo un ángulo de 30º. Si la velocidad del bote es de 10 km/h hacia el norte.

· Calcular la velocidad del viento

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/problemas/cinematica/relativo/problemas/cinematica_12s.gif

Velocidad del bote V_B

Velocidad del aire V_A

Velocidad del aire respecto del bote V_AB

Como vemos en la figura V_A=V_B+V_AB

v AB =− v AB cos⁡45i− v AB sin⁡45j v B = 10j v A =−v A cos⁡30i− v A sin⁡30j { − v AB cos⁡45=− v A cos⁡30 − v ABsin⁡45+10=− v A sin⁡30 v A = 20 3 −1 =27.3 km/h

EmpoC

lunes, 27 de agosto de 2012

Física 1.1.1 al 2.2.2

Suma de Vectores. Método Analítico

Velocidad media

Velocidad instantánea

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