Formulación covariante
Clásicamente, al fijar un sistema de referencia,
se puede descomponer los campos eléctricos y magnéticos del campo
electromagnético. Pero al tener a un observador con
movimiento relativo respecto al sistema de referencia, éste medirá efectos
eléctricos y magnéticos diferentes de un mismo fenómeno electromagnético. El
campo eléctrico y la inducción magnética a pesar de ser elementos vectoriales no
se comportan como magnitudes físicas vectoriales, por el contrario la unión
de ambos constituye otro ente físico llamado tensor y en
este caso el tensor de
campo electromagnético.11
Así, la expresión para el campo
electromagnético es:
Y las expresiones covariantes para las
ecuaciones de Maxwell () y la fuerza de Lorentz () se reducen a:
(6)
(7)
Electrodinámica cuántica
Diagrama
de Feynman mostrando la fuerza electromagnética entre dos electrones por medio
del intercambio de un fotón virtual.
Posteriormente a la revolución cuántica de
inicios del siglo XX, los físicos se vieron forzados a
buscar una teoría cuántica de la interacción
electromagnética. El trabajo de Einstein con
el efecto fotoeléctrico y la posterior formulación de la mecánica cuántica sugerían que la interacción
electromagnética se producía mediante el intercambio de partículas elementales llamadas fotones. La nueva formulación cuántica lograda
en la década de los años 40 del
siglo XX describía la interacción de este fotón portador de fuerza y las otras partículasportadoras de materia.12
La electrodinámica
cuántica es
principalmente una teoría cuántica
de campos renormalizada.
Su desarrollo fue obra de Sinitiro Tomonaga, Julian Schwinger, Richard Feynman y Freeman Dyson alrededor de los años 1947 a 1949.13 En
la electrodinámica cuántica, la interacción entre partículas viene descrita por
un lagrangiano que
posee simetría local,
concretamente simetría de gauge.
Para la electrodinámica cuántica, el campo de gauge donde las partículas interactúan es el campo
electromagnético y
esas partículas son los fotones.13
Matemáticamente, el lagrangiano para la
interacción entre fermiones mediante
intercambio de fotones viene dado por:
Donde el significado de los términos son:
son
las matrices
de Dirac.
y son los campos o espinores
de Dirac que
representan las partículas cargadas eléctricamente.
es
la derivada covariante asociada a la simetría gauge.
el
operador asociado al potencial
vector covariante del
campo electromagnético y
el
operador de campo asociado tensor de
campo electromagnético.
Principio de
Arquímedes
Ejemplo
del Principio de Arquímedes: El volumen adicional en la segunda probeta
corresponde al volumen desplazado
por el sólido sumergido (que naturalmente coincide con el volumen del sólido).
El principio
de Arquímedes es un principio
físico que afirma que: «Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en
reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen del fluido que desaloja».
Esta fuerza1 recibe
el nombre de empuje
hidrostático o de Arquímedes, y se mide en newtons (en
el SIU).
El principio de Arquímedes se formula así:
Donde E es el empuje , ρf es la densidad del
fluido, V el «volumen de fluido desplazado» por
algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo,g la aceleración de
la gravedad y m la masa,
de este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del
cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones
normales2 y
descrito de modo simplificado3 )
actúa verticalmente hacia arriba y está aplicado en elcentro de gravedad del fluido desalojado por el cuerpo;
este punto recibe el nombre de centro de carena.
Historia
La anécdota más
conocida sobre Arquímedes, matemático griego,
cuenta cómo inventó un método para determinar el volumen de un objeto con una
forma irregular. De acuerdo a Vitruvio, arquitecto de
la antigua Roma, una nueva corona con forma de corona triunfal había sido fabricada para Hierón II,tirano gobernador de Siracusa, el
cual le pidió a Arquímedes determinar si la corona estaba hecha de oro sólido o si un orfebre deshonesto
le había agregado plata.4 Arquímedes
tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así que no podía fundirla y
convertirla en un cuerpo regular para calcular su densidad.
Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de
agua subía en la tina cuando
entraba, y así se dio cuenta de que ese efecto podría usarse para determinar el volumen de
la corona. Debido a que la compresión del agua sería despreciable,5 la
corona, al ser sumergida, desplazaría una cantidad de agua igual a su propio
volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de agua desplazada, se
podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería menor si
otros metales más baratos y menos densos le hubieran sido añadidos. Entonces,
Arquímedes salió corriendo desnudo por
las calles, tan emocionado estaba por su descubrimiento para recordar vestirse,
gritando "¡Eureka!" (en griego antiguo:
"εὕρηκα" que significa "¡Lo he encontrado!)"6
La historia de la corona dorada no aparece en
los trabajos conocidos de Arquímedes, pero en su tratado Sobre los cuerpos flotantes él da el principio de hidrostática conocido
como el principio de Arquímedes. Este plantea que todo cuerpo sumergido en un
fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen
de fluido desalojado es decir dos cuerpos que se sumergen en una superficie
(ej:agua), y el más denso o el que tenga compuestos más pesados se sumerge más
rápido, es decir, tarda menos tiempo, aunque es igual la distancia por la
cantidad de volumen que tenga cada cuerpo sumergido.7
Demostración
Aunque el principio de Arquímedes fue
introducido como principio, de hecho puede considerarse un teorema demostrable
a partir de las ecuaciones de
Navier-Stokes para un
fluido en reposo, mediante el teorema de Stokes (igualmente el principio de Arquímedes
puede deducirse matemáticamente de las ecuaciones de
Euler para un fluido
en reposo que a su vez pueden deducirse generalizando las leyes de Newton a un medio continuo). Partiendo de las ecuaciones de
Navier-Stokes para un
fluido:
(1)
La condición de que el fluido incompresible
que esté en reposo implica tomar en la ecuación anterior , lo que permite llegar a la relación
fundamental entre presión del fluido, densidad del fluido y aceleración de la
gravedad:
(2)
A partir de esa relación podemos reescribir
fácilmente las fuerzas sobre un cuerpo sumergido en términos del peso del
fluido desalojado por el cuerpo. Cuando se sumerge un sólido K en un fluido, en cada punto de su
superficie aparece una fuerza por unidad de superfice perpendicular a la superficie en
ese punto y proporcional a la presión del fluido p en ese punto. Si llamamos al vector normal a la superficie
del cuerpo podemos escribir la resultante de
las fuerzas sencillamente
mediante el teorema de Stokes de la divergencia:
(3)
Donde la última igualdad se da sólo si el
fluido es incompresible.
Prisma recto
Para un prisma recto de base Ab y altura H, sumergido en posición
totalmente vertical, la demostración anterior es realmente elemental. Por la
configuración del prisma dentro del fluido las presiones sobre el área lateral
sólo producen empujes horizontales que además se anulan entre sí y no
contribuyen a sustentarlo. Para las caras superior e inferior, puesto que todos
sus puntos están sumergidos a la misma profundidad, la presión es constante y
podemos usar la relación Fuerza = presión x Área y teniendo en cuenta la resultante
sobre la cara superior e inferior, tenemos:
(4)
Donde es
la presión aplicada sobre la cara inferior del cuerpo, es la presión aplicada sobre la
cara superior y A es el área proyectada del cuerpo. Teniendo en cuenta la
ecuación general de la hidrostática, que establece que la presión en un fluido
en reposo aumenta proporcionalmente con la profundidad:
(5)
Introduciendo en el último término el volumen
del cuerpo y multiplicando por la densidad del fluido ρf vemos que la fuerza vertical
ascendente FV es precisamente el peso del fluido
desalojado.
(6)
El empuje o fuerza que ejerce el líquido
sobre un cuerpo, en forma vertical y ascendente, cuando éste se halla
sumergido, resulta ser también la diferencia entre el peso que tiene el cuerpo
suspendido en el aire y el "peso" que tiene el mismo cuando se lo
introduce en un líquido. A éste último se lo conoce como peso
"aparente" del cuerpo, pues su peso en el líquido disminuye
"aparentemente"; la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo
permanece constante, pero el cuerpo, a su vez, recibe una fuerza hacia arriba
que disminuye la resultante vertical.
Ley de Boyle-Mariotte
La Ley
de Boyle-Mariotte (o Ley de Boyle), formulada por Robert Boyle y Edme Mariotte, es una de las leyes de los gases ideales que relaciona el volumen y la presión de
una cierta cantidad de gas mantenida a temperatura constante.
La ley dice que el volumen es inversamente proporcional a la presión:
donde es
constante si la temperatura y la masa del gas permanecen constantes.
Cuando aumenta la presión, el volumen baja,
mientras que si la presión disminuye el volumen aumenta. No es necesario
conocer el valor exacto de la constante para
poder hacer uso de la ley: si consideramos las dos situaciones de la figura,
manteniendo constante la cantidad de gas y la temperatura, deberá cumplirse la
relación:
donde:
Además si despejamos cualquier incógnita se obtiene lo siguiente:
Esta ley es una simplificación de la ley de los gases
ideales o perfectos particularizada
para procesos isotermos de una cierta masa de gas constante.
Junto con la ley de Charles, la ley de Gay-Lussac, la ley de Avogadro y la ley de Graham, la ley de Boyle forma las leyes
de los gases, que describen la conducta de un gas ideal. Las tres primeras
leyes pueden ser generalizadas en la ecuación universal
de los gases.
Experimento de Boyle
Para poder comprobar su teoría, Boyle hizo el
siguiente experimento: Introdujo un gas en un cilindro con un émbolo y comprobó
las distintas presiones al bajar el bolo. A continuación hay una tabla que
muestra algunos de los resultados que obtuvo este fenomeno:
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