Conceptos matemáticos fundamentales
La ley de Coulomb
La ecuación fundamental de la electrostática
es la ley de Coulomb, que describe la fuerza entre
dos cargas puntuales y . Dentro de un medio homogéneo como es
el aire, la relación se expresa como:
donde F es la fuerza, es una constante característica
del medio, llamada la « permitividad ». En el
caso del vacío, se denota como 0.
La permitividad del aire es solo un 0,5‰ superior a la del vacío, por lo que a
menudo se usan indistintamente.
Las cargas del mismo signo se repelen entre
sí, mientras que las cargas de signo opuesto se atraen entre sí. La fuerza es proporcional al
producto de las cargas eléctricas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre las cargas.
La acción a distancia se efectúa por medio del campo eléctrico.
El campo eléctrico
El campo eléctrico (en unidades de voltios por metro)
se define como la fuerza (en newtons) por unidad de carga (en coulombs). De esta definición y de la ley de
Coulomb, se desprende que la magnitud de un campo eléctrico E creado por una carga puntual Q es:
La ley de Gauss
La ley de Gauss establece
que el flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada es proporcional
a la carga eléctrica total encerrada dentro de la
superficie. La constante de proporcionalidad es la permitividad del vacío.
Matemáticamente, la ley de Gauss toma la
forma de una ecuación integral:
Alternativamente, en forma diferencial, la
ecuación es:
La ecuación de Poisson
La definición del potencial electrostático,
combinada con la forma diferencial de la ley de Gauss, provee una relación
entre el potencial Φ y la densidad de carga ρ:
Esta relación es una forma de la ecuación de Poisson.
Ecuación de Laplace
En ausencia de carga eléctrica, la ecuación
es
que es la ecuación de Laplace.
Fenómenos electroestáticos
La existencia del fenómeno electrostático es
bien conocido desde la antigüedad, existen numerosos ejemplos ilustrativos que
hoy forman parte de la enseñanza moderna, como el hecho de que ciertos
materiales se cargan de electricidad por
simple frotamiento.
Electrización
Se denomina electrización al efecto de ganar
o perder cargas eléctricas, normalmente electrones, producido por un cuerpo
eléctricamente neutro.
1. Por
contacto: Se puede cargar un cuerpo neutro con solo tocarlo con otro
previamente cargado. En este caso, ambos quedan con el mismo tipo de carga, es
decir, si se toca un cuerpo neutro con otro con carga positiva, el primero debe
quedar con carga positiva.
2. Por
frotamiento: Al frotar dos cuerpos eléctricamente neutros (número de electrones
igual al número de protones), ambos se cargan, uno con carga positiva y el otro
con carga negativa.
Carga eléctrica
Es una de las propiedades básicas de la
materia. Realmente, la carga eléctrica de un cuerpo u objeto es la suma de las
cargas de cada uno de sus constituyentes mínimos (moléculas, átomos y
partículas elementales). Por ello se dice que la carga eléctrica está
cuantizada. Existen dos tipos de carga eléctrica, que se han denominado cargas
positivas y negativas. Las cargas eléctricas de la misma clase o signo se
repelen mutuamente y las de signo distinto se atraen.
Principio de conservación y
cuantización de la carga
Las cargas eléctricas solo se pueden producir
por parejas. La cantidad total de las cargas eléctricas positivas producidas en
igual a la de las negativas, es decir, la cantidad total de carga eléctrica en
cualquier proceso permanece constante. Además, cualquier carga localizada en un
cuerpo siempre es múltiplo entero de la unidad natural de carga, la del
electrón.
Ejemplos de fenómenos
eléctroestaticos
1. Poniendo
muy próximos dos péndulos eléctricos tocados con vidrio frotado, se observa una
repulsión mutua; si los dos se han tocado con resina frotada, la repulsión se
origina análogamente; si uno de los dos péndulos se ha puesto en contacto con
resina frotada y el otro con vidrio, se produce una mutua atracción.
2. Cuando
frotamos una barra de vidrio con un paño. Lo que hemos hecho es arrancar cargas
negativas de la barra que han quedado atrapadas en el paño, por lo que la barra
inicialmente neutra ha quedado con defecto de cargas negativas (cargada
positivamente) y el paño con un exceso de cargas negativas, en el sistema total
vidrio-paño, la carga eléctrica no se ha modificado, únicamente se ha
redistribuido.
3. Cuando
caminas por alfombra y tocas el pivote de la puerta metálico. Sientes una
descarga eléctrica.
4. Cuando
te peinas con un peine puedes recoger pedacitos de papel con el peine.
Ley de Coulomb
Ley
de Coulomb expresando los signos de cargas de diferente signo, y de carga del
mismo signo.
La ley
de Coulomb puede expresarse
como:
La magnitud de cada una de
las fuerzas eléctricas con que interactúan dos cargas puntuales en reposo es
directamente proporcional al producto de la magnitud de ambas cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
La constante de proporcionalidad depende de
la constante dieléctrica del medio en el que se encuentran las cargas.
Desarrollo de la ley
Charles-Augustin
de Coulomb desarrolló
la balanza de torsión con la que determinó las propiedades
de la fuerza electrostática. Este instrumento consiste en una barra que cuelga
de una fibra capaz de torcerse. Si la barra gira, la fibra tiende a hacerla
regresar a su posición original, con lo que conociendo la fuerza de torsión que
la fibra ejerce sobre la barra, se puede determinar la fuerza ejercida en un
punto de la barra. La ley de Coulomb también conocida como ley de cargas
tiene que ver con las cargas eléctricas de un material, es decir, depende de si
sus cargas son negativas o positivas.
En la barra de la balanza, Coulomb colocó una
pequeña esfera cargada y a continuación, a diferentes distancias, posicionó
otra esfera también cargada. Luego midió la fuerza entre ellas observando el
ángulo que giraba la barra.
Dichas mediciones permitieron determinar que:
La fuerza de interacción entre dos cargas y duplica su magnitud si alguna de
las cargas dobla su valor, la triplica si alguna de las cargas aumenta su valor
en un factor de tres, y así sucesivamente. Concluyó entonces que el valor de la
fuerza era proporcional al producto de las cargas:
y
en consecuencia:
Si la distancia entre las cargas es , al duplicarla, la fuerza de
interacción disminuye en un factor de 4 (2²); al triplicarla, disminuye en un
factor de 9 (3²) y al cuadriplicar ,
la fuerza entre cargas disminuye en un factor de 16 (4²). En consecuencia, la
fuerza de interacción entre dos cargas puntuales, es inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia:
Asociando ambas relaciones:
Finalmente, se introduce una constante de
proporcionalidad para transformar la relación anterior en una igualdad:
Enunciado de la ley
La ley de Coulomb es válida sólo en
condiciones estacionarias, es decir, cuando no hay movimiento de las cargas o,
como aproximación cuando el movimiento se realiza a velocidades bajas y en
trayectorias rectilíneas uniformes. Es por ello que es llamada fuerza electrostática.
En términos matemáticos, la magnitud de la fuerza que cada una de las
dos cargas puntuales y ejerce sobre la otra separadas
por una distancia se
expresa como:
Dadas dos cargas puntuales y separadas una distancia en el vacío, se atraen
o repelen entre sí con una fuerza cuya
magnitud está dada por:
donde es
un vector unitario,
siendo su dirección desde la cargas que
produce la fuerza hacia la carga que la experimenta.
Al aplicar esta fórmula en un ejercicio, se
debe colocar el signo de las cargas q1 o q2, según sean éstas positivas o
negativas.
El exponente (de la distancia: d) de la Ley de Coulomb es, hasta donde
se sabe hoy en día, exactamente 2. Experimentalmente se sabe que, si el
exponente fuera de la forma ,
entonces .
Representación
gráfica de la Ley
de Coulomb para dos cargas del mismo signo.
Obsérvese que esto satisface la tercera de la
ley de Newton debido a que implica que fuerzas de igual magnitud actúan sobre y . La ley de Coulomb es una ecuación
vectorial e incluye el hecho de que la fuerza actúa a lo largo de la línea de
unión entre las cargas.
Constante de Coulomb
La constante es la Constante de
Coulomb y su valor
para unidades SI es Nm²/C².
A su vez la constante donde es la permitividad relativa, , y F/m es la permitividad del medio en el vacío.
Cuando el medio que rodea a las cargas no es
el vacío hay que tener en cuenta la constante dieléctrica y la permitividad del
material.
La ecuación de la ley de Coulomb queda
finalmente expresada de la siguiente manera:
|
|
La constante, si las unidades de las cargas
se encuentran en Coulomb es la siguiente y
su resultado será en sistema MKS (). En cambio, si la unidad de las cargas
están en UES (q), la constante se expresa de la siguiente forma y su resultado estará en las
unidades CGS ().
Potencial de Coulomb
La ley de Coulomb establece que la presencia
de una carga puntual general induce en todo el espacio la aparición de un campo de fuerzas que decae según la ley de la
inversa del cuadrado. Para modelizar el campo debido a varias cargas
eléctricas puntuales estáticas puede usarse el principio de
superposición dada la
aditividad de las fuerzas sobre una partícula. Sin embargo, matemáticamente el
manejo de expresiones vectoriales de ese tipo puede llegar a ser complicado,
por lo que frecuentemente resulta más sencillo definir un potencial eléctrico.
Para ello a una carga puntual se
le asigna una función escalar o potencial
de Coulomb tal que la
fuerza dada por la ley de Coulomb sea expresable como:
De la ley de Coumlomb se deduce que la
función escalar que satisface la anterior ecuación es:
Donde:
, es el vector posición genérico de un
punto donde se pretende definir el potencial de Coulomb y
, es el vector de posición de la carga
eléctrica cuyo campo
pretende caracterizarse por medio del potencial.
Limitaciones de la Ley de Coulomb
§
La expresión matemática solo es aplicable a
cargas puntuales estacionarias, y para casos estáticos más complicados de carga
necesita ser generalizada mediante el potencial eléctrico.
§
Cuando las cargas eléctricas están en
movimiento es necesario reemplazar incluso el potencial de Coulomb por el potencial
vector de Liénard-Wiechert, especialmente si las velocidades de las
partículas son grandes comparadas con la velocidad de la luz.
Verificación experimental de la Ley de Coulomb
Montaje experimental para verificar la ley de Coulomb.
Es posible verificar la ley de Coulomb
mediante un experimento sencillo. Considérense dos pequeñas esferas de masa
"m" cargadas con cargas iguales, del mismo signo, y que cuelgan de
dos hilos de longitud l, tal como se indica en la figura adjunta. Sobre cada
esfera actúan tres fuerzas: el peso mg,
la tensión de la cuerda T y la fuerza de repulsión eléctrica
entre las bolitas . En el
equilibrio:
(1)
y también:
(2)
Dividiendo () entre () miembro a miembro, se obtiene:
Siendo la
separación de equilibrio entre las esferas cargadas, la fuerza de repulsión entre ellas, vale,
de acuerdo con la ley de Coulomb y,
por lo tanto, se cumple la siguiente igualdad:
(3)
Al descargar una de las esferas y ponerla, a
continuación, en contacto con la esfera cargada, cada una de ellas adquiere una
carga q/2, en el equilibrio
su separación será y la
fuerza de repulsíón entre las mismas estará dada por:
Por estar en equilibrio, tal como se dedujo
más arriba: . Y de modo similar
se obtiene:
(4)
Dividiendo () entre (), miembro a miembro, se llega a la
siguiente igualdad:
(5)
Midiendo los ángulos y y las separaciones entre las
cargas y es posible verificar que la
igualdad se cumple dentro del error experimental. En la práctica, los ángulos
pueden resultar difíciles de medir, así que si la longitud de los hilos que
sostienen las esferas son lo suficientemente largos, los ángulos resultarán lo
bastante pequeños como para hacer la siguiente aproximación:
Con esta aproximación, la relación () se transforma en otra mucho más
simple:
De esta forma, la verificación se reduce a
medir la separación entre cargas y comprobar que su cociente se aproxima al
valor indicado.
Comparación entre la
Ley de Coulomb y la
Ley de la Gravitación Universal
Esta comparación es relevante ya que ambas
leyes dictan el comportamiento de dos de las fuerzas fundamentales de la
naturaleza mediante expresiones matemáticas cuya similitud es notoria.
La ley de la
gravitación universal establece
que la fuerza de atracción entre dos masas es directamente proporcional al
producto de las mismas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
que las separa. Expresándolo matemáticamente:
Siendo:
las
masas de los cuerpos en cuestión y
la distancia entre
los centros de las masas.
A pesar del chocante parecido en las
expresiones de ambas leyes se encuentran dos diferencias importantes. La
primera es que en el caso de la gravedad no se han podido observar masas de
diferente signo como sucede en el caso de las cargas eléctricas, y la fuerza
entre masas siempre es atractiva. La segunda tiene que ver con los órdenes de
magnitud de la fuerza de gravedad y de la fuerza eléctrica. Para aclararlo
analizaremos como actúan ambas entre un protón y un electrón en el núcleo de
hidrógeno. La separación promedio entre el electrón y el protón es de 5,3·10-11 m.
La carga del electrón y la del protón valen y respectivamente y sus masas son y . Sustituyendo los datos:
.
Al comparar resultados se observa que la
fuerza eléctrica es de unos 39 órdenes de magnitud superior a la fuerza
gravitacional. Lo que esto representa puede ser ilustrado mediante un ejemplo muy
llamativo. 1 C equivale
a la carga que pasa en 1 s por
cualquier punto de un conductor por el que circula una corriente de intensidad
1 A constante.
En viviendas con tensiones de 220 Vrms, esto equivale a un segundo de una bombilla
de 220 W (120 W para las instalaciones
domésticas de 120 Vrms).
Si fuera posible concentrar la mencionada
carga en dos puntos con una separación de 1 metro , la fuerza de
interacción sería:
o sea, ¡916 millones de kilopondios, o el peso de una masa de casi un
millón de toneladas (un
teragramo)!. Si tales cargas se pudieran concentrar de la forma indicada más
arriba, se alejarían bajo la influencia de esta enorme fuerza. Si de esta
hipotética disposición de cargas resultan fuerzas tan enormes, ¿por qué no se
observan despliegues dramáticos debidos a las fuerzas eléctricas? La respuesta
general es que en un punto dado de cualquier conductor nunca hay demasiado
alejamiento de la neutralidad eléctrica. La naturaleza nunca acumula un Coulomb
de carga en un punto.
Energía potencial electrostática
La energía potencial electrostática de un
sistema formado por dos partículas de cargas q y Q situadas a una distancia r una de la otra es igual a:
Siendo K la constante de Coulomb,
una constante universal cuyo valor aproximado es 9×109 (voltios·metro/culombio). donde ε es la permitividad del
medio. En el vacío ε = ε0= 8,85x10-12 (culombio/voltio·metro)..
Una definición de energía potencial
eléctrica sería la siguiente: cantidad de trabajo que se necesita realizar para
acercar una carga puntual de masa nula con velocidad constante desde el
infinito hasta una distancia r de una carga del mismo signo, la cual utilizamos
como referencia. En el infinito la carga de referencia ejerce una fuerza nula.
Es importante no confundir la energía
potencial electrostática con el potencial eléctrico, que es el trabajo por
unidad de carga:
Energía potencial elástica
Esta catapulta hace
uso de la energía potencial elástica.
La energía
elástica o energía de deformación es el aumento de energía interna acumulada en el interior de un sólido
deformable como
resultado del trabajo realizado por las fuerzas que provocan la deformación.
Potencial armónico
El Potencial
armónico (caso
unidimensional), dada una partícula en un campo de fuerzas que responda a la ley de Hooke, como el caso de un muelle se
puede calcular estimando el trabajo necesario para mover la partícula una
distancia x:
si es un muelle ideal cumpliría la ley de
Hooke:
El trabajo desarrollado (y por tanto la
energía potencial) que tendríamos sería:
Las unidades están en julios. La sería la constante elástica del
muelle o del campo de fuerzas.
Energía de deformación
La Energía
de deformación (caso lineal
general), en este caso la función escalar que da el campo de tensiones es la energía libre de Helmholtz por unidad de volumen f que representa laenergía de deformación. Para un sólido
elástico lineal e isótropo, la energía potencial elástica en función de las
deformaciones εij y
la temperatura la energía libre de un cuerpo deformado viene dada por:
(1
Donde son constantes elásticas llamadas coeficientes de Lamé, que
pueden depedender de la temperatura, y están relacionadas con el módulo de Young y el coeficiente de
Poisson mediante las
relaciones algebraicas:
A partir de esta expresión () del potencial
termodinámico de
energía libre pueden obtenerse las tensiones a partir de las siguientes
relaciones termodinámicas:
Estas últimas ecuaciones se llaman ecuaciones de
Lamé-Hooke y escritas
más explícitamente en forma matricial tienen la forma:
Donde
Energía de deformación (caso no-lineal
general), en el caso de materiales elásticos no-lineales la energía de
deformación puede definirse sólo en el caso de materiales hiperelásticos. Y en
ese caso la energía elástica está estrechamente relacionada con el potencial
hiperplástico a partir de la cual se deduce la ecuación constitutiva.
Electrodinámica
La electrodinámica es la rama del electromagnetismo que trata de la evolución temporal en
sistemas donde interactúan campos eléctricos y magnéticos con
cargas en movimiento.
Electrodinámica clásica (CED)
Albert Einstein desarrolló la relatividad especial merced a un análisis de la
electrodinámica. Durante finales del siglo XIX los físicos se percataron de una
contradicción entre las leyes aceptadas de la electrodinámica y la mecánica clásica.
En particular, las ecuaciones de Maxwell predecían resultados no intuitivos
como que la velocidad de la luz es la misma para cualquier observador
y que no obedece a la invariancia de
Galileo. Se creía, pues, que las ecuaciones de Maxwell no eran
correctas y que las verdaderas ecuaciones del electromagnetismo contenían un
término que se correspondería con la influencia del éter lumínico.
Después de que los experimentos no arrojasen
ninguna evidencia sobre la existencia del éter, Einstein propuso la
revolucionaria idea de que las ecuaciones de la electrodinámica eran correctas
y que algunos principios de la mecánica clásica eran inexactos, lo que le llevó
a la formulación de la relatividad especial.
Unos quince años antes del trabajo de
Einstein, Wiechert y más tarde Liénard, buscaron las expresiones de los campos
electromagnéticos de cargas en movimiento. Esas expresiones, que incluían el
efecto del retardo de la propagación de la luz, se conocen ahora como potenciales
de Liénard-Wiechert. Un hecho importante que se desprende del
retardo, es que un conjunto de cargas eléctricas en movimiento ya no puede ser
descrito de manera exacta mediante ecuaciones que sólo dependa de las
velocidades y posiciones de las partículas. En otras palabras, eso implica que
el lagrangiano debe
contener dependecias de los "grados de libertad" internos del campo.1
Lagrangiano clásico y
energía
El lagrangiano del campo
electromagnético clásico
viene dado por un escalar construido a partir del tensor campo
electromagnético:
De hecho este lagrangiano puede reescribirse
en términos de los campos eléctrico y magnético para
dar (en unidades cgs):
Introduciendo este lagrangiano en las
ecuaciones de Euler-Lagrange, el resultado son las ecuaciones de Maxwell y aplicando una transformación de
Legrendre generalizada se
obtiene la expresión de la energía
electromagnética:
Predicciones de la CED
§
El campo electromagnético se propaga a una
velocidad finita, por lo que el campo en un punto depende de la posición de las
partículas cargadas en un instante anterior dado por el cociente de la
distancia y la velocidad de la luz.
§
Una partícula acelerada pierde energía
emitiendo radiación. Este hecho complicó el desarrollo
del modelo atómico
de Rutherford ya que
implicaba que un electrón clásico
orbitando alrededor de un núcleo atómico no podía ser estable, ya que los
electrones debían perder energía y colapsar contra el núcleo atómico. Este fue
una de las motiviaciones para construir una teoría cuántica del electromagnetismo.
Electrodinámica cuántica (QED)
La electrodinámica
cuántica (ó QED, Quantum ElectroDynamics), como
sugiere su nombre, es la versión cuántica de la electrodinámica. Esta teoría
cuántica se describe el campo electromagnético en términos de fotones intercambiados
entre partículas cargadas, al estilo de la teoría cuántica
de campos. Por tanto, la electrodinámica cuántica se centra en la
descripción cuántica del fotón y
su interacción/intercambio de energía y momento lineal con las partículas
cargadas.
Se puede señalar que la formulación de la
teoría de la relatividad restringida se compone de dos partes, una de ellas
«cinemática», descrita anteriormente, y que establece las bases de la teoría
del movimiento – y, por consiguiente, del conjunto de la teoría– dándoles su
expresión matemática, y una parte «electrodinámica» que, combinando las
propuestas de la primera parte con la teoría electromagnética de Maxwell, Hertz
y Lorentz , establece deductivamente un cierto número de teoremas sobre las
propiedades de la luz y, en general de las ondas electromagnéticas como,
asimismo, la dinámica del electrón.
En la parte correspondiente a la
electrodinámica, Albert Einstein formula su teoría aplicando, para un espacio
vacío, la transformación de coordenadas –que forma la base de la cinemática
relativista– a las ecuaciones de Maxwell-Hertz; esta aplicación revela, una vez
más, que la transformación, lejos de ser un simple artificio de cálculos, posee
un sentido físico esencial: las leyes del electromagnetismo clásico determinan
las propiedades de dos vectores diferentes, uno del otro, el campo eléctrico de
componentes en el sistema y el campo magnético de componentes ; ahora bien, transformando las
ecuaciones de a e imponiendo, en función a los
principios de la relatividad, que las nuevas componentes de los campos en K, se obtienen unas
relaciones donde las componentes transformadas del campo eléctrico y del campo
magnético respectivamente dependen, a su vez, de los componentes iniciales de
ambos campos, lo que conduce con asombrosa naturalidad a la unificación teórica
del magnetismo y de la electricidad. Para ello, las relaciones necesarias en
las condiciones que interesan son:
Por otro lado, la distinción entre fuerza
eléctrica y fuerza magnética no es sino una consecuencia del estado de
movimiento del sistema de coordenadas; en que, el análisis cinemático elimina
la anomalía teórica prerelativista: la distinta explicación de un mismo
fenómeno (la inducción electromagnética) no es más que una apariencia debida al
desconocimiento del principio de relatividad y de sus consecuencias.
Por otra parte, en función de las fórmulas
relativistas es factible extender los resultados precedentes a las ecuaciones
de Maxwell cuando existen corrientes de convección; la conclusión es que la
electrodinámica de los cuerpos en movimiento de Lorentz están conforme con el
principio de relatividad.
Ahora, en cuanto a la dinámica del electrón
lentamente acelerado, que exigiría una larga discusión, sólo citaremos el
siguiente resultado: si se atribuye una masa m a un electrón lentamente
acelerado por un campo eléctrico y en función de esta masa se puede evaluar la
energía cinética de un electrón, medida en un sistema en reposo respecto al
cual ha sido acelerado por el campo hasta una velocidad v.
Pero donde la formulación teórica de la parte
de la electrodinámica de la relatividad restringida coloca su acento es en la
propagación de las ondas electromagnéticas, de donde se deduce, siempre
siguiendo el mismo método de aplicación algebraica de las fórmulas de Lorentz,
las leyes de los dos fenómenos ópticos más conocidos y de gran importancia para
la astronomía: el efecto Doppler (aparente cambio de frecuencia para una fuente
en movimiento y que analizaremos en la siguiente separata) y la aberración, ya
mencionada anteriormente.
Predicciones de la QED
§
El campo electromagnético es interpretable en
términos de partículas o cuantos de
radiación denominados fotones.
§
El factor giroscópico o "factor g"
predicho por la teoría es algo más del doble del predicho por la teoría clásica,
es decir, el cociente entre el momento magnético y el espín del
electrón es algo más del doble del esperado en base a la teoría clásica.
§
Los átomos son
estables porque representan estados estacionarios del sistema atómico formado
por el núcleo atómico, los electrones y la radiación electromagnética.
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