Vector
Este artículo
trata sobre el concepto físico de vector. Para el tratamiento matemático
formal, véase Espacio vectorial.
En física, un vector (también llamado vector euclidiano o vector geométrico) es una
herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física definida por su módulo (o longitud), su dirección (u orientación)
y su sentido (que distingue el origen del extremo).1 2 3
En matemáticas se define un vector como un
elemento de un espacio vectorial, esta noción es más abstracta y para muchos
espacios vectoriales no es posible representar sus vectores mediante el módulo,
la longitud y la orientación (ver Espacio vectorial).
Los vectores en un espacio euclídeo se pueden
representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos («flechas») en el
plano 
o en el espacio 
.
o en el espacio .
Son ejemplos de magnitudes vectoriales: la velocidad con que se
desplaza un móvil, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que
marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar
la dirección y el sentido (hacia donde se dirige); la fuerza que actúa sobre un
objeto, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la
dirección en la que actúa; también, el desplazamiento de un objeto.
Conceptos fundamentales
Esta sección explica los aspectos
básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes
físicas, los componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.
Definición
Componentes de
un vector.
Se llama vector de dimensión a una tupla de números reales (que se llaman componentes del
vector). El conjunto de todos los vectores dedimensión se
representa como (formado
mediante el producto cartesiano).
Así, un vector perteneciente a un espacio se representa como:
(left), donde
Un vector también se puede ver desde el
punto de vista de la geometría como vector geométrico (usando frecuentemente el espacio
tridimensional ó bidimensional ).
Un vector fijo del plano es un segmento
orientado, en el que hay que distinguir tres características:1 2 3
§
módulo: la longitud del segmento
§
dirección: la orientación de la recta
§
sentido: indica cual es el origen y cual es el
extremo final de la recta
En inglés, la palabra
"direction" indica tanto la dirección como el sentido del vector, con
lo que se define el vector con solo dos características: módulo y dirección.4
Los vectores fijos del plano se denotan
con dos letras mayúsculas, por ejemplo ,
que indican su origen y extremo respectivamente.
Magnitudes
escalares y vectoriales
Representación
gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de su punto de aplicación y
de los versores cartesianos.
Representación
de los vectores.
Frente a aquellas magnitudes físicas,
tales como la masa,
la presión, el volumen, la energía, la temperatura, etc; que quedan completamente
definidas por un número y las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras,
tales como el desplazamiento,
la velocidad, la aceleración, lafuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan
completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una
dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las primeras
llamadas escalares.
Las magnitudes escalares quedan
representadas por el ente matemático más simple; por un número. Las magnitudes
vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de
vector. En un espacio euclidiano,
de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento
orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su
longitud o módulo, siempre positivo por definición, y
su dirección, la cual
puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de
coordenadas; o mediante coordenadas polares,
que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de
coordenadas.
Se representa como un segmento orientado,
con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su
longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la
"punta de flecha" indica su sentido.
Notación
Las magnitudes vectoriales se representan
en los textos impresos por letras en negrita,
para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos
manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha
sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar).
Ejemplos
§
...
representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una
magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación
correspondiente al vector: ...
§
En los textos manuscritos se escribe: ... para los vectores y ... o ... para los módulos.
Cuando convenga, se representan la
magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento
orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores
representados en la Figura
2 en la forma , ... resultando
muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.
Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es
la unidad, se representan frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo .
Clasificación
de vectores
Según los criterios que se utilicen para
determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse
distintos tipos de los mismos:
§
Vectores libres: no están aplicados en ningún
punto en particular.
§
Vectores deslizantes: su punto de aplicación
puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
§
Vectores fijos o ligados: están aplicados en un
punto en particular.
Podemos referirnos también a:
§
Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
§
Vectores concurrentes o angulares: son aquellas
cuyas direcciones o líneas de acción pasan por un mismo punto. También se les
suele llamar angulares por que forman un ángulo entre ellas.
§
Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y
dirección, pero sentidos contrarios.1 En
inglés se dice que son de igual magnitud pero direcciones contrarias, ya que la
dirección también indica el sentido.
§
Vectores colineales: los vectores que comparten
una misma recta de acción.
§
vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido
actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas.
§
Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas
de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).
Componentes
de un vector
Componentes
del vector.
Un vector en el espacio se puede expresar
como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí
que constituyen una base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores
unitarios se representan por , , ,
paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector
en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y
separadas con comas:
o expresarse como una combinación de los
vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de
coordenadas cartesiano, será
Estas representaciones son equivalentes
entre sí, y los valores ax, ay, az, son las
componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.
Una representación conveniente de las
magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están
implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del
modo siguiente:
Con esta notación, los vectores
cartesianos quedan expresados en la forma:
Representación
gráfica de los vectores
Aunque hay quien no recomienda el uso de
gráficos para evitar la confusión de conceptos y la inducción al error, sin
investigación que lo corrobore, también es cierto que la memoria se estimula
con mejores resultados. Para ello veamos las notas:
§
Llamaremos vector a la representación visual con
el símbolo de flecha( un segmento y un triángulo en un extremo).
§
La rectitud visual de una flecha o curvatura de
la misma, no la hace diferente en símbolo si los dos extremos permanecen en el
mismo lugar y orden.
§
El que una flecha cierre en sí misma, indica la
ausencia de efectos algebraicos.
§
Para visualizar la suma de vectores se hará
encadenándolos, es decir, uniendo el extremo que tiene un triángulo(final) del
primer vector con el extremo que no lo tiene(origen) del segundo vector
manteniendo la dirección y distancia, propias al espacio, de sus dos extremos,
ya que estas dos cualidades los distingue visualmente de otros vectores.
Examinemos cada uno de los casos que
aparecen en la definición:
La definición suma de
vectores en el orden u+v produce otro vector, es como encadenar, siempre
visualmente, un vector u y luego uno v. Diremos que u+v se simplifica como un
vector w o que w descompone como suma de vectores u y v.
1) Decir que u+v=v+u, es
exigir que las dos sumas simplifiquen en el mismo vector, en negro. Véase que
en física los vectores en rojo simulan la descomposición de fuerzas ejercidas
por el vector negro en su origen, y se representa con un paralelogramo.
2) Decir que
u+(v+w)=(u+v)+w, es exigir que las simplificaciones de sumas de vectores puedan
ser optativas en cualquier cadena de sumas.
3) Decir que existe un
vector 0 tal que u+0=u, equivale a exigir que exista un vector incapaz de
efectuar, mediante la suma, modificación alguna a todos los vectores.
4) Decir que u+(-u)=0,
es exigir la existencia de un elemento, -u, que sumado a u simplifique en un
vector cero.
La definición producto
por escalar produce otro
vector; es como modificar el extremo final del vector u, siempre visualmente.
§
Los escalares se representarán con una línea de
trazos a modo, exclusivamente, de distinción ya que no siempre pertenecen al
espacio de vectores.
Por un lado la representación del
producto en el caso modifica,
visualmente, la longitud de la imagen del vector, quedando ambos siempre
superpuestos; por otro lado las representaciones en el caso además de modificar la longitud,
también agrega rotaciones, para facilitarlas visualmente considérense centradas
en el origen del vector, siendo estas modificaciones un poco más expresivas,
visualmente, pero no más fáciles que en el caso real:
a)Decir
que a(bu)=(ab)u, es exigir que los productos encadenados a(b(u)) pueden
simplificarse como uno, c=ab, luego (ab)u queda como cu.
b)
Decir que existe el escalar 1 tal que 1u=u, equivale a decir exista un escalar
incapaz de efectuar, mediante producto, modificación alguna a todos los
vectores.
c)
Decir que a(u+v)=au+av, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma
vectorial.
d)
Decir que (a+b)u=au+bu, es exigir la propiedad distributiva respecto la suma
escalar.
Para el caso real se han de eliminar las
rotaciones de los ejemplos anteriores.
Operaciones con vectores
Suma de
vectores
Para sumar dos vectores libres (vector y
vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final
de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Método del
paralelogramo
Método del paralelogramo.
Este método
permite solamente sumar vectores de dos en dos. Consiste en disponer
gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en
un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo
del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico). El vector resultado de
la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de
ambos vectores.
Método del
triángulo o método poligonal
Consiste en disponer gráficamente un
vector a continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los
vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel
cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del
último.
Método
analítico para la suma y diferencia de vectores
Dados dos vectores libres,
El resultado de su suma o de su
diferencia se expresa en la forma
y ordenando las componentes,
Con la notación matricial sería
Conocidos los módulos de dos vectores
dados, y , así como el ángulo que forman entre sí, el módulo
de es:
La deducción de esta expresión puede
consultarse en deducción
del módulo de la suma.
Producto de
un vector por un escalar
El producto de un vector por un escalar
es otro vector cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo del vector,
cuya dirección es igual a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si
el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica
del vector, sobre la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el módulo
de vector como indica el escalar.
Sean un
escalar y un vector, el
producto de por se representa y se realiza multiplicando cada
una de las componentes del vector por el escalar; esto es,
Con la notación matricial sería
Derivada
ordinaria de un vector
Dado un vector que es función de una
variable independiente
Calculamos la derivada ordinaria del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de
cada una de sus componentes como si de escalares se tratara:
teniendo en cuenta que los vectores
unitarios son constantes en módulo y dirección.
Con notación matricial sería
Veamos un ejemplo de derivación de un
vector, partiendo de una función vectorial:
Esta función representa una curva
helicoidal alrededor del eje z,
de radio unidad, como se ilustra en la figura. Podemos imaginar que esta curva
es la trayectoria de una partícula y la función representa el vector posición en
función del tiempo t.
Derivando tendremos:
Realizando la derivada:
La derivada del vector posición respecto
al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el vector
velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:
Este vector velocidad es
un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en
cada instante. El sentido es hacia los valores crecientes de los valores
escalares.4 Si
derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.
Derivada
covariante de un vector
Cuando en
lugar de emplear una "base fija" en todo el dominio de un vector se
usan "bases móviles" como cuando se emplean coordenadas
curvilíneas la variación total de un
vector dependiente del tiempo depende no sólo de la variación de componentes
como en el caso de la derivada ordinaria sino también de la variación de la
orientación de la base. La variación total se llama derivada covariante:
Cuando se emplea una base fija
(coordenadas cartesianas) la derivada covariante coincide con la derivada
ordinaria. Por ejemplo cuando se estudia el movimiento de una partícula desde
un sistema de referencia no inercial en rotación, las aceleraciones de Coriolis y centrípeta se deben a los factores que contienen .
Ángulo entre
dos vectores
El ángulo determinado por las direcciones
de dos vectores y viene dado por:
Descomposiciones
de un vector
Dado un vector y una dirección de referencia
dada por un vector unitario se
puede descomponer el primer vector en una componente paralela y otra componente
perpendicular a la dirección de referencia:
En física esta descomposición se usa en
diferentes contextos como descomponer la aceleración en una componente paralela
a la velocidad y otra componente perpendicular a la misma. También el tensión mecánica en un punto sobre un plano puede
descomponerse en una componente normal al plano y otra paralela.
También dado un campo vectorial definido sobre un dominio de
Lipschitz, acotado, simplemente conexo y de cuadrado
integrable admite
la llamada descomposición de
Helmholtz como suma de un campo conservativo y un campo solenoidal
:
Cambio de base vectorial
En matemáticas las
rotaciones son transformaciones
lineales que conservan las
normas en espacios vectoriales en los que se ha definido una
operación de producto interior. La matriz de transformación tiene la propiedad
de ser una matriz unitaria, es decir, esortogonal y
su determinante es 1. Sea un vector expresado en una sistema de
coordenadas cartesianas (x, y, z) con una base vectorial asociada definida por los versores ; esto es,
Ahora, supongamos que giramos el sistema
de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que
obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base
vectorial asociada definida
por los versores . Las
componentes del vector en
esta nueva base vectorial serán:
La operación de rotación de la base
vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal
(representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al
vector):
Ejemplo
En el caso simple en el que el giro tenga
magnitud alrededor del eje z, tendremos la transformación:
Al hacer la aplicación del operador, es
decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del
vector en la nueva base
vectorial:
siendo las componentes del vector en la nueva
base vectorial.
Requerimientos físicos de las magnitudes
vectoriales
No cualquier n-tupla de funciones o números reales
constituye un vector físico. Para que una n-tupla
represente un vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo
medidos por diferentes observadores deben
transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.
En mecánica newtoniana generalmente se
utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con
pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales
antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya
definición interviene el producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.
En teoría
especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes
observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de
Lorentzconstituyen magnitudes vectoriales. Así las componentes de
dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores y deben relacionarse de acuerdo
con la siguiente relación:
Donde son
las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes
como el momento angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la
relatividad no son magnitudes vectoriales sino tensoriales.
Movimiento (física)
En mecánica, el movimiento es un cambio físico que se define como
todo cambio de posición en
el espacio
La descripción y estudio del movimiento de un
cuerpo exige determinar su posición en el espacio en función del tiempo. Para
ello es necesario un sistema de referencia o referencial.
Introducción
La Mecánica comprende el estudio de las máquinas (Polea simple fija).
Un sistema físico real se caracteriza por al
menos tres propiedades importantes:
1.
Tener una ubicación en el espacio-tiempo.
2.
Tener un estado físico definido sujeto a evolución temporal.
3.
Poderle asociar una magnitud física llamada energía.
El movimiento se refiere al cambio de ubicación en el espacio a lo largo del tiempo, tal como es medido por un observador físico. Un poco más generalmente el cambio de ubicación puede verse influido por las propiedades internas de un cuerpo o sistema físico, o incluso el estudio del movimiento en toda su generalidad lleva a considerar el cambio de dicho estado físico.
Las descripicón del movimiento de los cuerpos
físicos se denomina cinemática (que sólo se ocuparía de las
propiedades 1 y 2) anteriores. Esta disciplina pretende describir el modo en
que un determinado cuerpo se mueve y qué propiedades tiene dicho movimiento. La
física clásica nació estudiando la cinemática de cuerpos rígidos.
Posteriormene el estudio de las causas que
producen el movimiento y las relaciones cuantitativas entre los agentes que
causan el movimiento y el movimiento observado llevó al desarrollo de la mecánica (Griego Μηχανική
y de latín mechanica o 'arte de construir máquinas') que es
la rama de la física que
estudia y analiza el movimiento y reposo de los cuerpos, y su evolución en el
tiempo, bajo la acción de fuerzas y
agentes que pueden alterar el estado de movimiento. La mecánica teórica fue
durante los siglos XVII, XVIII y principios del siglo XIX, la disciplina de la
física que alcanzó mayor abstracción matemática y fue una fuente de mejora del
conocimiento científico del mundo. La mecánica aplicada está usualmente
relacionada con la ingeniería. Ambos puntos de vista se
justifican parcialmente ya que, si bien la mecánica es la base para la mayoría
de las ciencias de la ingeniería clásica, no tiene un carácter tan empírico como
éstas y, en cambio, por su rigor y razonamiento
deductivo, se parece más a la matemática.
Durante el siglo XX la aparición nuevos
hechos físicos, tanto la consideración de cuerpos físicos moviendose a
velocidades cercanas a la velocidad de la luz como el movimiento de las partículas
subatómicas, llevaron a la formulación de teorías más abstractas como la mecánica relativista y la mecánica cuántica que seguían interesándose por la
evolución en el tiempo de los sistemas físicos, aunque de una manera más
abstracta y general de lo había hecho la mecánica clásica, cuyo objetivo era
básicamente cuantificar el cambio de posición en el espacio de las partículas a
lo largo del tiempo y los agentes responsables de dichos cambios.
Mecánica clásica
La mecánica
clásica es una formulación de
la mecánica para
describir mediante leyes el comportamiento de cuerpos físicos macroscópicos en
reposo y a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.
Existen varias formulaciones diferentes, de
la mecánica clásica para describir un mismo fenómeno natural, que
independientemente de los aspectos formales y metodológicos que utilizan llegan
a la misma conclusión.
§
La mecánica vectorial,
deviene directamente de las leyes de Newton, por eso también se le conoce
con el gentilicio de newtoniana. Es aplicable a cuerpos que se mueven en
relación a un observador a velocidades pequeñas comparadas con la de la luz.
Fue construida en un principio para una sola partícula moviéndose en un campo
gravitatorio. Se basa en el tratamiento de dos magnitudes vectoriales bajo una
relación causal: la fuerza y la
acción de la fuerza, medida por la variación del momentum (cantidad
de movimiento). El análisis y síntesis de fuerzas y momentos
constituye el método básico de la mecánica vectorial. Requiere del uso
privilegiado de sistemas de referencia inercial.
§
La mecánica analítica (analítica en el sentido matemático de
la palabra y no filosófico). Sus métodos son poderosos y trascienden de la Mecánica a otros campos
de la física. Se puede encontrar el germen de la mecánica analítica en la obra
de Leibniz que
propone para solucionar los problemas mecánicos otras magnitudes básicas (menos
oscuras según Leibniz que la fuerza y el momento de Newton), pero ahora escalares, que
son: la energía cinética y el trabajo. Estas
magnitudes están relacionadas de forma diferencial. La característica esencial
es que, en la formulación, se toman como fundamentos primeros principios
generales (diferenciales e integrales), y que a partir de estos principios se
obtengan analíticamente las ecuaciones de movimiento.
En mecánica newtoniana el movimiento de una
partícula en el espacio tridimensional se representa por una función vectorial:
El conjunto imagen se denomina trayectoria y se
obtiene integrando la ecuación diferencial anterior con las condiciones de
contorno adecuadas. Dado que la ecuación diferencial puede ser complicada a
veces se buscan integrales de
movimiento que
permitan encontrar la trayectoria más fácilmente. Para un sistema de n partículas libres que ejercen acciones a distancia
instáneas la idea
anterior se generaliza:
Si existen ligaduras en el movimiento puede resultas más
sencillo y económico pasar a un sistema de coordenadas
generalizadas y
trabajar con una formulación abstracta típica de la mecánica analítica.
Mecánica relativista
Para describir la posición de una partícula
material la mecánica relativista hace uso de un sistema de cuatro coordenadas
definidas sobre un espacio-tiempo de cuatrodimensiones. Además las acciones a
distancia instantáneas están excluidas ya que al propagarse más rápido que la
velocidad de la luz dan lugar a contracciones en el principio de causalidad.
Por lo que un sistema de partículas puntuales en interacción debe ser descrito
con la ayuda de "campos retardados", es decir, que no actúan de
manera instatáneamente, cuya variación debe determinarse como propagación a
partir de la posición de la partícula. Esto complica razonablemente el número
de ecuaciones necesarias para describir un conjunto de partículas en
interacción.
Otra dificultad añadida es que no existe un
tiempo universal para todos los observadores, por lo que relacionar las medidas
de diferentes observadores en movimiento relativo es ligeramente más complejo
que en la mecánica clásica. Una manera conveniente es definir el intervalo
invariante relativista y parametrizar las trayectorias en el espacio-tiempo en
función de dicho parámetro. La descripción campos de fuerzas o fluidos requiere
definir ciertas magnitudes tensoriales sobre el espacio vectorial tangente al
espacio-tiempo.
Mecánica cuántica
La mecánica
cuántica1 2 es
una de las ramas principales de la física, y uno de los más grandes avances del
siglo XX para el conocimiento humano, que explica el comportamiento de la materiay de la energía. Su aplicación ha hecho posible el
descubrimiento y desarrollo de muchas tecnologías, como por ejemplo los transistores que
se usan más que nada en la computación. La mecánica cuántica describe en su visión más
ortodoxa, cómo cualquier sistema físico, y por lo tanto todo el universo, existe en una diversa y variada
multiplicidad de estados, los cuales habiendo sido organizados matemáticamente
por los físicos, son denominados autoestados de
vector y valor propio. De esta forma la mecánica cuántica explica y
revela la existencia del átomo y
los misterios de la estructura atómica tal cual hoy son entendidos; lo que
por otra parte, la física clásica, y
más propiamente todavía la mecánica clásica, no podía explicar debidamente los
fenómenos actualmente observados por los científicos.
De forma específica, se considera también
mecánica cuántica, a la parte de ella misma que no incorpora la relatividad en su formalismo, tan sólo como
añadido mediante teoría de
perturbaciones.3 La
parte de la mecánica cuántica que sí incorpora elementos relativistas de manera
formal y con diversos problemas, es la mecánica
cuántica relativista o
ya, de forma más exacta y potente, la teoría cuántica
de campos (que incluye
a su vez a la electrodinámica
cuántica, cromodinámica
cuántica y teoría electrodébil dentro del modelo estándar)4 y
más generalmente, la teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo.
La única interacción que no se ha podido cuantificar ha sido la interacción
gravitatoria.
La mecánica cuántica es la base de los
estudios del átomo, los núcleos y las partículas
elementales (siendo ya
necesario el tratamiento relativista), pero también en teoría de la
información,criptografía y química.
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